Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
5.18 Mб
Скачать

10.10 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение евклидового пространства.

2Перечислите аксиомы скалярного произведения (аксиомы евклидового пространства).

3Приведите пример евклидового пространства.

4Какие вектора называются ортогональными?

5Сформулируйте и докажите теорему о линейной независимости ортогональной системы векторов.

6Что означает процесс ортогонализации?

7Как преобразовать произвольный базис в ортогональный?

8Дайте определение нормы вектора евклидового пространства.

9Выведите неравенство Коши-Буняковского.

10Выведите неравенство треугольника.

11Как найти угол между векторами евклидового пространства?

12Какой базис называется ортонормированным?

13Запишите формулу скалярного произведения через коэффициенты векторов ортонормированного базиса.

14Какое пространство называется унитарным?

15Что означает эрмитово произведение элементов?

16Сформулируйте и докажите теорему о размерности изоморфных евклидовых пространств.

17Какие матрицы называются унитарными?

18Сформулируйте свойства унитарных матриц.

19Какая матрица называется сопряженной по отношению к данной?

20Перечислите характеристические свойства унитарных матриц.

259

Глава 11Линейные операторы

11.1 Линейный оператор. Основные определения

Пусть даны два линейных действительных (комплексных) пространства V

и W , размерности которых равны соответственно m и n .

Будем говорить, что

задано отображение f пространства V в W или оператор,

действующий из V в

W , если каждому x V поставлен в соответствие единственный y W .

Вектор y назовем образом вектора x , а x - прообразом вектора y .

Будем говорить, что оператор f переводит вектор x в

вектор y , и писать

y = f (x).

Из определения оператора следует, что каждый вектор имеет единственный образ, но не каждый вектор имеет прообраз, а если имеет, то этот прообраз, вообще говоря, может быть и не единственным.

Оператор называется взаимно однозначным (биективным), если каждый вектор имеет прообраз, и притом единственный.

Два оператора f :V W и g :V W называются равными, если f ( x ) = g( x ) , для любого x V .

Оператор называется линейным, если для любых векторов пространства и произвольного числа λ (действительного, если пространство действительное, и комплексного, если – комплексное), выполняются следующие условия:

1)f ( x1 + x2 ) = f (x1 )+ f (x2 );

2)f (λx)= λf ( x ) .

Из определения следует, что для линейного оператора справедливо

соотношение

 

f ( αx1 + βx2 ) = αf (x1 )+ βf (x2 ),

(11.1)

где α, β - любые числа (действительные или комплексные).

Справедливо и обратное: если имеет место равенство (11.1), то оператор f

является линейным.

Отметим, что линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой, так как согласно условию 2): f (0)= f ( 0x ) = 0 f ( x ) = θ, где θ - нулевой вектор.

Простейшим примером линейного оператора является тождественное

преобразование

f ( x ) = x , т.е.

преобразование, которое каждому вектору

линейного пространства ставит в соответствие тот же вектор.

Пусть линейный оператор

f n -мерного пространства переводит базисные

векторы e1 , e2 , ..., en соответственно в векторы e1, e2, ..., en, т.е.

e1′ = f ( e1 ),

e2′ = f ( e2 ) ,…, en′ = f ( en ).

Образ любого вектора x данного линейного пространства можно выразить через образы базисных векторов e1 , e2 , ..., en , то есть через e1, e2, ..., en.

260

Действительно, если

x = α1e1 + α2e2 + ... + αnen ,

то

f ( x ) = f (α1e1 + α2e2 + ...+ αnen )= α1 f ( e1 ) + α2 f ( e2 ) + ...+ αn f ( en ) =

= α1e1′ + α2e2′ + ... + αnen,

т.е.

f ( x ) = α1e1′ + α2e2′ + ... + αnen.

Следовательно, линейный оператор будет вполне определен, если заданы образы базисных векторов рассматриваемого пространства.

Пусть

f

-

линейный оператор n -мерного линейного пространства,

переводящий базисные векторы e1 , e2 , ..., en в векторы

e1, e2, ..., en. Каждый из

последних векторов разложим по базису e1 , e2 , ..., en :

 

e1′ = a11e1 + a21e2 + ... + an1en ,

 

e2′ = a12e1 + a22e2 + ... + an2en ,

 

......................................

 

 

en′ = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen .

 

Матрица

 

 

 

 

 

a

a

...

a

 

 

 

11

12

 

1n

 

 

a21

a22

...

a2n

 

 

A =

 

 

...

...

,

 

... ...

 

 

 

 

an2

...

 

 

 

an1

ann

(k =1, 2, ..., n), называется

в которой k -й столбец состоит из координат вектора ek

матрицей линейного

оператора f в базисе e1 , e2 , ..., en . Итак, каждому

линейному оператору n -мерного линейного пространства соответствует матрица порядка n в данном базисе; обратно, каждой матрице порядка n соответствует линейный оператор n -мерного пространства.

Например, в пространстве M 2 рассмотрим оператор вращения на угол ϕ и найдем матрицу этого оператора в базисе i, j .

Решение.

Рисунок 104

261

Из рисунка 104 очевидно следующее: f(i) = OM + MN =i cosϕ + j sinϕ ;

f(j) = OP + PS = −isinϕ + j cosϕ .

Следовательно, искомая матрица имеет вид

cosϕ

sinϕ

 

 

.

 

cosϕ

 

sinϕ

 

Например, рассмотрим оператор f , переводящий всякий вектор r M 2 в

симметричный ему вектор относительно оси Ox (оператор симметрии относительно оси Ox ). Докажем, что этот оператор является линейным. Найдем его матрицу в базисе i, j .

Из рисунка 105 видим, что f ( i ) = i , f ( j ) = − j . Следовательно, искомая матрица имеет вид

 

0

1

 

 

.

 

0

 

 

1

Рисунок 105

Отметим, что матрица тождественного преобразования в любом базисе будет единичной; обратно, любой единичной матрице n -го порядка соответствует тождественное преобразование линейного n -мерного пространства.

11.2 Связь между координатами вектора и его образа

Рассмотрим линейный оператор f n -мерного линейного пространства, заданный в некотором базисе e1 , e2 , ..., en матрицей

a

a

...

a

 

 

11

12

 

1n

 

a21

a22

...

a2n

(11.2)

A =

 

...

...

.

... ...

 

 

 

an2

...

 

 

 

an1

ann

 

Координаты вектора x и его образа y = f ( x ) известны:

262

x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen ,

(11.3)

y = f (x)= y1e1 + y2e2 + ... + ynen.

 

Найдем зависимость между координатами векторов x и y .

 

Принимая во внимание определение линейного оператора, получаем

f ( x ) = f (x1e1 + x2e2 + ... + xnen )= x1 f (e1 )+ x2 f (e2 )+ ... + xn f

(en )=

= x1(a11e1 + a21 e2 + ... + an1en )+ x2 (a12e1 + a22e2 + ... + an2en )+ ...

... + xn (a1ne1 + a2ne2 + ... + annen ),

или

f ( x ) = (a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )e1 + (a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn )e2 + ...

... + (an1x1 + an2 x2 + ... + ann xn )en .

Поскольку каждый вектор разлагается по базису единственным образом, то из этого равенства и второго равенства (11.3) следуют искомые формулы:

y

 

= a

 

x

+ a

 

x

2

+... + a

 

x

n

,

 

1

11

1

12

 

 

1n

 

 

 

 

y2 = a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn ,

......................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

n

= a

 

x

+ a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

.

 

 

n1 1

 

 

 

 

 

 

 

Формулы (11.4) можно записать в матричном виде

Y = AX ,

где A определяется формулой (11.2), а X иY - формулами

 

x

 

 

 

y

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

X

x2

 

,

Y

y2

 

=

M

 

=

M

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

yn

 

(11.4)

(11.5)

Если переменные y1, y2 , ..., yn связаны с переменными x1, x2 , ..., xn

формулами (11.4), будем говорить, что задан линейный однородный оператор с матрицей A, переводящий переменные x1, x2 , ..., xn в переменные y1, y2 , ..., yn .

Он обладает теми же свойствами, что и линейный оператор n -мерного линейного пространства.

Линейный однородный оператор переменных (11.4) или (11.5) называется

невырожденным, если det A 0 .

Например,

пусть линейный оператор f двумерного пространства в базисе

e1 , e2 задан матрицей

 

3

2

 

A =

 

 

.

 

1

5

 

 

 

Найти f ( x ), если x = 4e1 3e2 . Решение. По формуле (11.5) имеем

y

 

 

3

2

4

 

6

1

 

=

 

 

 

 

 

=

 

.

 

 

 

1

5

 

3

 

 

19

 

y2

 

 

 

 

 

 

263

Следовательно, f ( x ) = 6e1 19e2 .

Замечание. При рассмотрении линейных операторов (линейных преобразований) пользуются и другими обозначениями. Если y = f (x) , где f -

линейный оператор с матрицей A в некотором базисе, то возможна запись

y = Ax . Условия 1) и 2), определяющие линейный оператор в этом случае

записывают в виде

A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , A(λx)= λAx .

11.3 Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Рассмотрим несколько необходимых теорем:

 

Теорема 11.1 Если для любого столбца

X = (x1, x1, ..., xm )T

имеет место

равенство

 

 

 

 

AX = BX , где A = (aij ); B = (bij ) (i =

 

;

j =

 

) ,

(11.6)

1, m

1, m

то A = B .

Доказательство. Так как равенство (11.6) имеет место для любого X , то оно будет справедливо для столбца X = (1 0 ... 0)T . Тогда

(a11 a21 ... am1 )T = (b11

b21 ... bm1 )T ,

откуда

 

a11 = b11 , a21 = b21 , …,

am1 = bm1 .

Аналогично доказывается равенство остальных элементов матрицы A соответствующих элементам матрицы B .

Теорема 11.2 Если для любой матрицы-строки X = (x1, x1, ..., xm ) имеет

место равенство XA = XB , где A = (aij ), B = (bij ) (i =1, m; j =1, m) , то A = B .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 11.1.

Теорема 11.3 Если

e1 , e2

, ..., en ;

(11.7)

e1, e2

, ..., en

(11.8)

базисы некоторого линейного пространства и A - матрица линейного оператора f в базисе (11.7), то матрица B этого оператора в базисе (11.8) имеет вид

B =T 1 AT ,

где T - матрица перехода от базиса (11.7) к базису (11.8).

Доказательство. Пусть вектор x имеет координаты α1, α2 , ..., αn в базисе

(11.7) и α1, α2, ..., αnв базисе

(11.8), а

вектор y = f( x ) имеет координаты

β1, β2 , ..., βn в базисе (11.7) и β1,

β2, ..., βn

в базисе (11.8). Тогда

X =TX ;

 

(11.9)

264

Y =TY ;

 

(11.10)

Y = AX ;

 

(11.11)

Y ′ = BX .

 

(11.12)

Умножив равенство (11.9) слева на матрицу A, получим

 

AX = ATX

 

 

или, учитывая выражения (11.10) и (11.11),

 

 

TY ′ = ATX .

 

 

Отсюда

 

 

Y ′ =T 1 ATX .

 

 

Сравнивая последнее равенство с (11.12), имеем

 

 

BX ′ =T 1 ATX .

B =T 1 AT -

 

Применяя теорему 11.1, окончательно получаем

что и

требовалось доказать.

 

 

Следствие 1. Если линейный оператор имеет

в некотором

базисе

невырожденную матрицу, то и в любом другом базисе матрица этого оператора является невырожденной.

Доказательство. Пусть A и B - матрицы данного оператора в двух различных базисах, причем det A 0 . Так как B =T 1AT , где T - невырожденная матрица, то det B = detT 1 det AdetT 0, т.е. матрица B также невырожденная.

Следствие 2. Если A и

B - матрицы линейного оператора в разных

базисах, то rA = rB .

 

Это равенство следует из того, что B =T 1AT и того, что ранг матрицы не

меняется при умножении матрицы на невырожденную матрицу.

Например, в базисе e1 , e2

оператор f имеет матрицу

 

8

4

 

 

A =

 

 

.

 

 

5

2

 

 

 

 

 

Найти матрицу оператора f

в базисе e1

= 2e1 + e2 , e2

= 6e1 + 4e2 .

 

Решение. Так как

 

 

 

 

4

 

6

 

 

2

 

3

 

 

 

 

T =

 

2 6

 

T 1 =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

=

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

4

 

 

 

 

 

2

 

0,5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

3

8 4

 

2 6

1 2

 

2 6

4 14

 

 

 

 

B =T 1 AT =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

.

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

1

5

 

2

 

1 4

1

 

1

4

2

 

Введем понятие подобия матриц. Матрица B называется подобной

матрице

A,

если

существует

 

невырожденная

 

квадратная

матрица C ,

удовлетворяющая равенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = C 1 AC .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из теоремы 11.3 следует, что матрица B линейного оператора f

в базисе

e1, e2, ..., en

 

подобна матрице A того же оператора f

в другом базисе e1 , e2 , ..., en ,

265

так как эти матрицы связаны формулой B =T 1 AT , где T - невырожденная матрица перехода от базиса e1 , e2 , ..., en к базису e1, e2 , ..., en .

Можно доказать, что две квадратные матрицы A и B порядка n тогда и только тогда являются матрицами одного и того же линейного оператора пространства Vn в соответствующих базисах, когда матрица B подобна

матрице A.

11.4 Ядро и область значений линейного оператора

Ядром оператора f :V W называется множество тех векторов

пространства V , каждый из которых данный оператор переводит в нулевой вектор.

Ядро оператора f будем обозначать ker f . Таким образом, kerf ={x V f( x ) = θ}, ( θ - нулевой вектор).

Областью

значений

или

образом

оператора

f :V W

называется

множество векторов пространства W , каждый из которых является образом хотя

бы одного вектора из V . Образ оператора

f

будем обозначать Im f .

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Imf = {y W

 

y = f( x )}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справедливы следующие утверждения.

 

 

 

 

 

 

 

1

Ядро линейного оператора

f :V V

является подпространством

пространства V .

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f( θ) = θ.

Доказательство.

Так

как

-

линейный

оператор,

то

 

Следовательно, ker f .

f( x1 ) = f (x2 )= θ. Тогда

 

 

 

 

 

Пусть x1 , x2 kerf , т.е.

 

 

 

 

 

f (x1 + x2 )= f (x1 )+ f (x2 )= θ,

 

 

 

f (λx1 )= λ f( x1 ) = θ.

ker f

 

Поэтому

x1 + x2 kerf ,

λx1 kerf .

Следовательно,

есть

подпространство пространства V .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Область

значений

линейного

 

оператора

f :V V

является

подпространством пространства V .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Ядро

оператора

f :V V

состоит

только

из нулевого

вектора

тогда и только тогда, когда из условия x1 x2

следует, что f (x1 )f (x2 ).

В справедливости утверждений 2, 3 предлагаем читателю убедиться

самостоятельно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рангом оператора f

называется

dim Im f ,

т.е. размерность образа

оператора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дефектом

оператора

f

называется

dim ker f ,

т.е. размерность ядра

оператора.

Теорема 11.4 Если f :V V - линейный оператор, то:

266

1) dim Im f = rA ; 2) dim ker f = n rA ,

где rA - ранг матрицы A оператора f , n = dimV - размерность пространства V .

 

Доказательство.

1) Пусть

y Im f , тогда существует

x V ,

такой, что

f (x) = y , или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AX =Y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

x, y

 

(11.13)

где

X , Y

- столбцы из

координат векторов соответственно

в

базисе, в

котором задана матрица A оператора

f .

 

 

 

 

 

 

 

Так как система (11.13) совместна, то rA = rA = r . Следовательно, столбец

Y

является

линейной

 

комбинацией

базисных

столбцов

матрицы

r

A. Таким

образом,

любой

вектор

y Imf

является линейной

комбинацией

линейно

независимых векторов. Следовательно, dim Im f = r = rA .

 

 

 

 

 

2)

Пусть

x ker f , тогда

f( x ) =θ ,

или

AX = O .

Следовательно,

пространство

ker f

является

пространством

решений

системы

AX = O ,

размерность которого равна n rA .

Из доказанной теоремы следует, что dim Im f + dim ker f = dimV (f :V V ).

11.5 Характеристический многочлен, характеристическое уравнение линейного оператора

Теорема 11.5 Если линейный оператор

f в базисе e1 , e2 , ..., en

имеет

матрицу A и в базисе e1, e2, ..., enматрицу B , то det(A λE)= det(B λE), где λ

- любое действительное число; E - единичная матрица n -го порядка.

 

Доказательство.

Обозначим через

T

матрицу перехода от

базиса

e1 , e2 , ..., en к базису e1, e2, ..., en, тогда B =T 1 AT . Следовательно,

 

det(B λE)= det(T 1 AT λE)= det(T 1 AT λT 1ET )=

 

= det(T 1 (A λE)T )= detT 1 det(A λE) detT = det(A λE),

 

так как detT 1 detT =1

. Итак, доказано, что

 

 

 

det(A λE)= det(B λE).

 

 

(11.14)

Отметим, что det(A λE) является многочленом степени n относительно

λ . Многочлен det(A λE)

называется

характеристическим многочленом

матрицы A, или характеристическим многочленом линейного оператора f .

Равенство (11.14) означает, что характеристический многочлен линейного оператора остается неизменным при переходе к новому базису при том, что матрица линейного оператора меняется.

Характеристическим уравнением линейного оператора называется

уравнение

 

det(A λE)= 0 ,

(11.15)

где A - матрица этого оператора в некотором базисе. Очевидно, характеристическое уравнение не зависит от выбора базиса. Уравнение (11.15)

267

называют также характеристическим уравнением матрицы A. Корни уравнения (11.15) называются характеристическими числами линейного оператора f , или

характеристическими числами матрицы A.

Например, найдем характеристический многочлен и характеристические

числа матрицы

2

3

 

0

 

2

0

3

 

A =

.

 

2

2

5

 

 

 

Решение. Характеристический многочлен данной матрицы имеет вид

λ

2

3

ϕ(λ)= − 2

λ

3 = λ2 (5 λ)+12 +12 (6λ + 4( 5 λ ) + 6λ)=

22 5 λ

=5λ2 λ3 + 24 6λ 20 + 4λ 6λ = −λ3 + 5λ2 8λ + 4 .

Для нахождения характеристических чисел решим уравнение

λ3 + 5λ2 8λ + 4 = 0 .

Его можно записать в виде

(λ3 λ2 )(4λ2 4λ)+ (4λ 4)= 0

или

(λ 1)(λ2 4λ + 4)= 0 .

Корни этого уравнения, т.е. характеристические числа: λ1 =1, λ2 = λ3 = 2 .

Система всех характеристических чисел линейного оператора называется его спектром. Каждое характеристическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность. Спектр оператора называется простым, если характеристический многочлен имеет только простые корни.

Итак, пусть характеристический многочлен матрицы A порядка n имеет

вид

 

p

λn + p λn1

+... + p

 

,

 

 

 

 

 

 

 

(11.16)

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где p

0

= (1)n ,

p = (1)n1 (a

 

+ a

22

+... + a

nn

), ...,

p

n

=

 

A

 

.

 

 

 

 

 

 

1

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с формулами Вьета коэффициенты характеристического многочлен связаны с характеристическими корнями следующим образом:

p1 = λ1 + λ2 +... + λn ,

p2 = λ1λ2 + λ1λ3 +... + λn1λn ,

.......................................

pn = λ1λ2 ...λn

из этих формул, в частности, вытекают часто применяемые соотношения

λ1 + λ2 + ... + λn = a11 + a22 + ... + ann ,

λ1λ2 ...λn = A .

268