Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Согласно последнему равенству характеристический многочлен матрицы имеет нулевые характеристические корни тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е. матрица вырожденная.

Например, определим имеет ли матрица A нулевые характеристические

(второй сомножитель равен нулю, как определитель с пропорциональными строками). Следовательно, матрица A имеет нулевой характеристический корень.

элементами из поля P есть линейное пространство над P размерности n2 . В этом линейном пространстве любая система, в которой не менее n2 +1 элементов,

α0 , α1 , ..., αn2 , одновременно не обращающихся в нуль, что выполняется

равенство

α0 An2 +α1 An2 −1 +... +αn2 −1 A +αn2 = 0 .

Это равенство означает, что матрица A является корнем многочлена

269

P(λ) = α0λn2 +α1λn2 −1 +... +αn2 −1λ +αn2 .

Примем без доказательства теорему Гамильтона-Кели.

Теорема 11.7 (Гамильтона-Кели) Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

11.6 Минимальный многочлен матрицы

Многочлен ϕ(λ) минимальной степени, имеющий старший коэффициент,

равный единице, и аннулируемый матрицей A, называют минимальным многочленом этой матрицы.

Теорема 11.8 Любой многочлен, аннулируемый матрицей A, нацело делится на минимальный многочлен этой матрицы. В частности, характеристический многочлен матрицы делится на ее минимальный многочлен.

Доказательство. Разделим многочлен P(λ) на минимальный многочлен ϕ(λ) с остатком: P(λ)= ϕ(λ)q(λ)+ r(λ), где многочлен r(λ) имеет степень меньше степени ϕ(λ). Заменив переменную λ матрицей A, получим:

P(A)= ϕ(A)q(A)+ r(A).

Так как P(A)=ϕ(A)= 0 , то и r(A)= 0 . Но это равенство возможно только в том случае, когда многочлен r(λ) нулевой. Иначе возникает противоречие с определением минимального многочлена. Равенство r(λ)= 0 означает, что многочлен P( λ ) нацело делится на ϕ(λ).

Следствие Любой корень минимального многочлена матрицы является корнем ее характеристического многочлена.

Отметим еще несколько полезных фактов. Характеристический многочлен A − λE матрицы A

многочлен ϕ(λ) связаны соотношением

ϕ(λ)= (−1)n A − λE , (11.17)

Dn−1

где Dn−1 - наибольший общий делитель всех миноров матрицы (n −1)-й порядок.

Корнями минимального многочлена ϕ(λ) являются все различные корни характеристического многочлена A − λE , причем если

где 1 ≤ nk ≤ mk , k =1, 2, ..., s .

Формула (11.17) позволяет находить минимальный многочлен матрицы. Например, найдем минимальный многочлен матрицы

270

взаимно простые. Поэтому

ϕ(λ)= (−1)3 A− λE = λ3 − λ2 − λ + 2 D2

- минимальный многочлен матрицы.

Рассмотренный пример показывает, что разные матрицы могут иметь одинаковые характеристические, но разные минимальные многочлены.

Учитывая, что матрицы данного линейного оператора в разных базисах подобны и имеют один и тот же характеристический многочлен, логично этот многочлен назвать характеристическим многочленом линейного оператора, а его корни – характеристическими корнями линейного оператора.

Отметим также, что транспонированная матрица AT имеет одинаковые с матрицей A характеристические многочлены и характеристические числа.

11.7 Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор x линейного пространства называется собственным вектором линейного оператора f этого пространства, если существует число k

причем k - действительное число для действительного линейного пространства и k - комплексное число в случае комплексного пространства. Число k называется собственным значением вектора x относительно оператора f . Равенство (11.16)

271

Ненулевая матрица-столбец X , удовлетворяющая уравнению (11.20), называется собственным вектором-столбцом матрицы A с собственным значением k .

Собственные векторы и собственные значения обладают следующими

свойствами:

1. Собственный вектор линейного оператора имеет единственное значение k .

Доказательство. Пусть k и m - собственные значения собственного вектора x относительно линейного оператора f , тогда f ( x ) = kx , f ( x ) = mx ,

откуда kx = mx , (k − m)x = 0 . Поскольку x ≠ 0 , то k − m = 0, или k = m .

2.Если x - собственный вектор линейного оператора f с собственным

значением k и λ - любое отличное от нуля число, то λx - также собственный вектор оператора f с собственным значением k .

Доказательство. Если x - собственный вектор с собственным значением k , то f (λx)= λ f( x ) = λ(k x)= k(λx). Это равенство означает, что λx - собственный

вектор линейного оператора f с собственным значением k .

3. Если x и y - линейно независимые собственные векторы линейного оператора f с одним и тем же собственным значением k , то x + y - также

собственный вектор этого оператора с собственным значением k .

Доказательство. Если векторы x и y линейно независимы, то x + y - ненулевой вектор и f( x + y ) = f( x ) + f( y ) = k x + k y = k( x + y ), то есть f( x + y ) = k( x + y ), а значит вектор (x + y) - собственный вектор с собственным

значением k .

4. Если x и y - собственные векторы линейного оператора f с собственными значениями k и m , причем k ≠ m , то x и y - линейно независимы.

Доказательство. Предположим противное, т.е. векторы x и y линейно зависимы, тогда y = λx , причем λ ≠ 0 , так как y ≠ 0 . Согласно свойству 2 вектор

λx является собственным вектором с собственным значением k . Учитывая свойство 1, из равенства y = λx заключаем, что k = m , а это противоречит

условию. Следовательно, векторы x и y - линейно независимы. Отметим, что

свойство 4 справедливо и для n ( n > 2) векторов, т.е. собственные векторы линейного оператора с попарно различными собственными значениями линейно независимы.

Следствие. Если x1 , x2 , ..., xm - линейно независимые собственные векторы линейного оператора f с одним и тем же собственным значением k ,

то любая нетривиальная комбинация этих векторов есть собственный вектор этого оператора с собственным значением k .

Это утверждение следует из свойств 2 и 3.

Например, найдем характеристические числа и собственные векторы линейного оператора, определяемого уравнениями x′ = 5x + 4 y , y′ = 8x + 9 y .

272

Решение. Матрица оператора запишется так:

Характеристическое уравнение имеет вид

характеристические числа λ1 =1, λ2 =13.

Для определения координат собственных векторов получаем две системы

y = −x . Следовательно, решение этой системы имеет вид x = c1 , y = −c1 , где c1 -

произвольная величина. Поэтому характеристическому числу λ =1 соответствует семейство собственных векторов

c2 всевозможные числовые значения, будем получать всевозможные собственные

векторы линейного оператора, определяемого заданными в условии задачи уравнениями.

11.8 Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы

Напомним, что симметрической называется матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

Теорема 11.9 Корни характеристического уравнения действительной симметрической матрицы являются действительными числами.

273

Доказательство. Если A - действительная симметрическая матрица, то

AT = A и A = A. где A - матрица, сопряженная матрице A; AT - матрица, полученная транспонированием матрицы A. Пусть k - корень характеристического уравнения, x(x1 , x2 , ..., xn )- собственный вектор данной

квадратной матрицы порядка n . Найдем произведение X T AX , где X - матрицастолбец из координат вектора x(x1 , x2 , ..., xn ), которые могут быть и

комплексными числами; X - матрица, сопряженная матрице X , X T - матрицастрока, полученная транспонированием матрицы X .

Применяя свойства транспонированных и сопряженных матриц, получаем

X T AX = X T AX = X T AX = X T kX = X T k X = k(X T X ), X T AX = X T AT X = (AX )T X = (kX )T X = k(X T X ).

действительное число.

Следствие. Действительная симметрическая матрица имеет только действительные собственные векторы.

Теорема 11.10 Собственные векторы действительной симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть x(x1 , x2 , ..., xn ), y(y1 , y2 , ..., yn ) - собственные

векторы симметрической матрицы A порядка n , собственные значения которых k и m различны; X , Y - соответствующие векторы-столбцы из их координат.

Найдем произведение X T AY , пользуясь ассоциативным свойством умножения матриц:

X T AY = X T (AY )= X T (mY )= mX T Y ,

X T AY = (X T A)Y = (X T AT )Y = (XA)T Y = (kX )T Y = k(X T Y ).

274

Так как по условию k ≠ m , т.е. (m − k )≠ 0 , то X T Y = 0 , или

x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = 0 .

Что и означает, что векторы x и y ортогональны.

11.9 Диагонализируемость линейного оператора

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Оператор называется диагонализируемым, если существует базис, в котором его матрица диагональная.

Теорема 11.11 Для того, чтобы линейный оператор f был

диагонализируемым, необходимо и достаточно, чтобы он был оператором простой структуры.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица A оператора f в базисе e1 , e2 , ..., en диагональная, т.е. имеет вид:

удовлетворяет условию (11.19) и, следовательно, является собственным вектором оператора f с собственным значением λi .

Достаточность. Пусть e1 , e2 , ..., en - базис пространства, состоящий из

пространстве, если существует невырожденная комплексная матрица T , такая,

что матрица T −1 AT диагональная.

Квадратная матрица A называется диагонализируемой в действительном пространстве, если существует невырожденная действительная матрица T ,

275

такая, что матрица T −1 AT - действительная диагональная матрица. Матрицу T

будем называть матрицей, диагонализирующей матрицу A.

Характеристические многочлены матриц A и T −1 AT совпадают, и характеристические числа диагональной матрицы равны ее диагональным элементам. Поэтому если матрица A диагонализируема, то

значением λi . Поскольку собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы, то имеется

B =T −1 AT (T - матрица перехода от базиса (11.21) к базису (11.23)), то матрица A диагонализируема. Что и требовалось доказать.

276

Следствие Если все характеристические числа действительной матрицы действительны и попарно различны, то матрица диагонализируема в

имеет характеристические числа λ1 = 9 , λ2 = −9 , кратность каждого из которых равна соответственно m1 = 2 , m2 =1. Ранг r1 матрицы A − λ1E равен единице, и

f + g = g + f .

Докажем, что сумма линейных операторов является линейным

277

(f + g )(αx1 + β x2 )= h(αx1 + β x2 )

f (αx1 + βx2 )+ g(αx1 + β x2 )=

=α f (x1 )+ β f (x2 )+α g(x1 )+ β g(x2 )=

=α(f (x1 )+ g(x2 ))+ β(f (x1 )+ g(x2 ))=α h(x1 )+ β h(x2 ),

Сравнивая это уравнение с третьим уравнением, получаем C = A + B .

Произведение оператора на число

Произведением αf линейного оператора f некоторого пространства на число α называется оператор g , такой, что для любого x из этого пространства

g(x) =α(f (x)).

Произведение оператора f на число α является линейным оператором, а

матрица этого оператора (в любом базисе) равна произведению матрицы оператора f на число α .

Произведение операторов

Рассмотрим линейный оператор f , переводящий вектор x в вектор y , т.е. y = f( x ). К вектору y применим оператор g , переводящий вектор y в вектор z , т.е. z = g( y ). Так как y = f( x ), то имеем оператор z = g(f( x )), переводящий вектор x в вектор z . Таким образом z получен в результате последовательного применения операторов f и g . Оператор, заключающийся в последовательном применении операторов f и g , называется произведением оператора f на

Докажем, что произведение линейных операторов является линейным оператором.

278