Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

например b . Обозначим через λ отношение длин векторов: λ = bа .

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Тогда проверяя определение произведения вектора на число,

убеждаемся, что а = λb . Согласно свойству 2, векторы а и b линейно зависимы,

что и требовалось доказать.

Замечание. Любые два неколлинеарных между собой вектора образуют линейно независимую систему векторов.

6.Система векторов, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.

7.Любые четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Вывод: Система векторов, содержащая более чем три вектора в трехмерном пространстве, всегда линейно зависима.

6.4 Базис системы векторов. Координаты вектора относительно базиса

Пусть задана некоторая система векторов S . Число векторов в системе может быть конечным или бесконечным.

Подсистема S′ системы S называется максимально линейно независимой подсистемой, если она удовлетворяет двум условиям:

1S′ - линейно независима;

2При добавлении к системе S′ любого вектора системы S она становится линейно зависимой.

Базисом системы векторов S называется любая максимально линейно независимая подсистема системы S .

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке. Обозначение: {e1, e2}.

Базисом в пространстве назовем три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Обозначение {e1, e2 , e3}.

В трехмерном пространстве существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим в трехмерном пространстве некоторый базис {e1, e2 , e3} и

139

базисе {e1, e2 , e3} имеются другие координаты x′, y′, z′. Тогда a = xe1 + ye2 + ze3 = x′e1 + y′e2 + z′e3 .

Следовательно,

(x − x′)e1 + ( y − y′)e2 + (z − z′)e3 = 0 .

По условию векторы базиса {e1, e2 , e3} линейно независимы, а значит, x − x′ = 0, y − y′ = 0, z − z′ = 0 . Поэтому x = x′ , y = y′, z = z′. Других координат у вектора нет.

Свойства координат векторов

1. Координаты суммы (разности) двух векторов, заданных своими

разложения в выбранном базисе:

a = a1e1 + a2 e2 + a3e3 , b = b1e1 + b2 e2 + b3e3 .

Используя свойства линейных операций, вычисляем сумму (разность) этих векторов:

a + b = (a1e1 + a2 e2 + a3e3 ) + (b1e1 + b2 e2 + b3e3 ) = = (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 + (a3 + b3 )e3 .

Получили разложение суммы (разности) векторов в фиксированном базисе. Отсюда заключаем, что координаты аi и bi исходных слагаемых,

соответствующие одному вектору ei в базисе {e1, e2 , e3}, складываются

(вычитаются).

2. Координаты произведения вектора на действительное число равны произведению этого числа на соответствующие координаты вектора в

некотором базисе, а именно, если a{a1, a2 , a3}{e1 , e2 , e3 }, то

b =αa ={αa1, αa2 , αa3}{e1 , e2 , e3 }.

3. Пусть даны векторы a{a1, a2 , a3}{e1 , e2 , e3 } и b{b1, b2 , b3}{e1 , e2 , e3 } и пусть вектор с =αa + βb , тогда на основе предыдущих свойств нетрудно показать,

что вектор с имеет следующие координаты с(αa1 + βb1 ,αa2 + βb2 ,αa3 + βb3 ) .

4. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами в некотором базисе:

Пусть относительно базиса {e1, e2 , e3} даны векторы a{a1, a2 , a3}, b{b1, b2 , b3} и a ||b , тогда по необходимому и достаточному условию b =αa или

140

координатной форме.

6.5 Ортонормированный базис. Направляющие косинусы вектора. Длина вектора

Рассмотрим в пространстве два неколлинеарнных вектора a, b и отложим их от произвольной точки O пространства (a = OA, b = OB)(рисунок 26).

Рисунок 26

Углом между векторами a и b , если особо не оговорено, будем называть угол AOB , величина которого не превышает π .

Принято угол между сонаправленными векторами считать равным нулю, то есть для любых a и b :

0 ≤ a; b ≤ π .

Два вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90o , т.е. если a b , то a и b ортогональны.

Принято нулевой вектор считать ортогональным с любым другим вектором.

Базис {e1, e2 , e3} трехмерного пространства называется ортонормированным, если выполняются два условия:

1)все векторы этого базиса единичные;

2)векторы базиса попарно ортогональны, то есть e1 e2 , e2 e3, e1 e3 .

Ортонормированный базис в пространстве V3 принято обозначать, с учетом порядка, буквами, {i , j, k }, в V2 - соответственно {i , j} и в V1 -{i }.

Вектора i , j, k называют ортами.

Пусть дан произвольный вектор a = {x, y, z}; будем считать, что a

выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные координатным осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (рисунок 27).

141

cosα = 1225 , cos β = −1525 , cosγ = −1625 .

6.6 Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: а b или (а,b). Итак, по определению

где ϕ=(а,b ).

Формуле (6.4) можно придать иной вид.

т.е. скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного

из них, на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Заметим, что

a b > 0 , если cos(a, b )> 0 , то есть 0 ≤ (a, b )<π 2 ; a b < 0 , если cos a , b < 0 , то есть π2 < a , b ≤ π;

a b = 0 , если либо a = 0 , либо b = 0 , либо cos(a, b )= 0 , то есть a b .

Таким образом, скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны, то есть

еслиa ≠ 0, b ≠ 0 , но a b = 0 , то a b .

Свойства скалярного произведения векторов

1. a b = b a (коммутативность);

Действительно, свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения векторов, так как

a b = a b cos ϕ = b a cos(− ϕ)= b a .

2. λa b = λ(a b ) (λ R);

143

Действительно, если b = 0 - нулевой вектор, то обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же b ≠ 0 , то, используя выражение скалярного произведения через ортогональную проекцию вектора a на направление вектора b и свойства проекций получаем

(λа)b = b (λa ) = b прb (λa) = λ b прb a = λ(ab ) .

3. (a + b ) c = a c + b c (дистрибутивность относительно сложения

векторов).

Третье свойство предлагаем читателю доказать самостоятельно.

4. Скалярный квадрат вектора есть неотрицательное число, причем, скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой, то есть

a a = a 2 ≥ 0 и a 2 = 0 a = 0.

Из свойства 4 следует, что

b ={b1, b2 , b3}{i , j, k }, заданных в ортонормированном базисе, равно сумме

Действительно, так как векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то это означает, что имеются разложения

a = a1i + a2 j + a3 k и b = b1i + b2 j + b3 k .

Используя разложения векторов а и b , а также свойства скалярного произведения имеем

ab = (a1i + a2 j + a3 k )(b1i + b2 j + b3 k ) = a1b1i i + a1b2i j + a1b3i k +

a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 .

6. Укажем еще одну формулу, вытекающую из определения скалярного произведения и формул для нахождения длин векторов, координаты которых известны в ортонормированном базисе.

Пусть a ={a1, a2 , a3}{i , j, k } и b ={b1, b2 , b3}{i , j, k }. Так как a b = a b cosϕ , то

144

Взаключении этого параграфа приведем пример применения определения

исвойств скалярного произведения при решении следующей задачи:

Найти (a, b ) , если a = m − 3n , b = 2m + 2n, m = 3, n = 3,(m,n) =π .

Решение.

(a, b ) = (m − 3n, 2m + 2n) = (m,2m + 2n) + (−3n,2m + 2n) = (m,2m) + (m,2n) + + (−3n,2m) + (−3n,2n) = 2(m, m) + 2(m, n) − 6(n, m) − 6(n, n) = 2 m 2 − 6 n 2 − − 4 mn cos(m, n) = 2 32 − 6 32 − 4 3 3 cosπ =18 − 54 + 36 = 0.

Итак, (a, b ) = 0 , то есть векторы a и b ортогональны.

6.7 Векторное произведение двух векторов и его свойства

Три некомпланарных вектора a, b , c взятых в указанном порядке, образуют правую тройку, если из конца третьего вектора с кратчайший поворот

от первого вектора a ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае - тройка левая (рисунок 29).

называется вектор, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах a , b ; направленный перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов и образующих с ними правую тройку.

Векторное произведение векторов a и b обозначается a ×b или [a,b ]

Рисунок 30

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j, k (рисунок 31)

145

[i , j]= k , [j, k ]= i , [k , i ]= j .

Рисунок 31

Свойства векторного произведения векторов

1. Модуль векторного произведения двух векторов равен произведению длин этих векторов на синус угла между ними.

Рассмотрим два неколлинеарных вектора a, b и отложим их от произвольной точки O (рисунок 32).

Рисунок 32

Построим параллелограмм на этих векторах как на сторонах. Найдем площадь параллелограмма OACB :

Поскольку, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, то

2. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору, то есть

[a, b ]= 0 .

[a, b ]является нуль-вектором.

3. Векторное произведение двух неколлинеарных векторов антикоммутативно, то есть

146

[a,b ]= −[b ,a].

Действительно, если векторы a и b коллинеарны, то свойство очевидно. Пусть a и b неколлинеарны. Из определения векторного произведения следует, что векторы [a, b ] и [b , a ] имеют одинаковые длины (длина векторного произведения не зависит от порядка сомножителей), коллинеарны (они перпендикулярны одной и той же плоскости в которой лежат векторы a и b ), но

операции сложения векторов, то есть

[a + b , c ]= [a, c ] + [b , c ].

Доказательство 3 и 4 свойств предлагаем читателю выполнить самостоятельно.

6.Выражение векторного произведения через координаты.

Результаты векторного произведения базисных векторов занесем в таблицу:

Рисунок 33

Чтобы не ошибиться со знаком, удобно пользоваться схемой (рисунок 33): если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает – третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть даны два векторы a = a1i + a2 j + a3 k и b = b1i + b2 j + b3 k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно

свойствам векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

147

так как правая часть предыдущего равенства соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Например, вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах a ={6,3,−2},b ={3,−2,6}.

Решение. Находим векторное произведение векторов a, b , используя (6.8):

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то

Sпар = [a, b ] = 142 + (−42)2 + (−21) 2 = 49 (кв.ед.).

Таким образом, площадь искомого параллелограмма равна 49 квадратным единицам.

6.8 Смешанное произведение трех векторов и его свойства

Смешанным произведением трех векторов a, b , c называется число,

Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, равно определителю третьего порядка, составленному из их координат, то есть

c1 c2 c3

Справедливость (6.10) следует из координатного представления скалярного произведения векторов и правила нахождения координат векторного произведения. (Предлагаем доказательство формулы (6.10) выполнить читателю самостоятельно.)

Теорема 6.2. Смешанное произведение векторов равно нулю (a, b , c )= 0 тогда и только тогда, когда либо векторы a, b , c компланарны, либо хотя бы один вектор нулевой.

148