Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

где k = a2 . 2

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Qy являются асимптотами, будет иметь вид y = kx .

Рисунок 64

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (7.34) называется отношение расстояния между фокусами к величине ее действительной оси:

единицы: ε >1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства b2 =c2 −a2 следует,

Таким образом, на основании последнего равенства мы можем утверждать, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Очевидно, эксцентриситет равносторонней гиперболы равен 2 . Действительно,

180

между центром и правой вершиной гиперболы, левая— между центром и левой вершиной.

действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на оси Ох. На рисунке 65 она изображена пунктиром.

асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

4 Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рисунок 66).

181

параболы.

2 Так как р>0, то из (7.39) следует, что x ≥0. Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу.

3 При х=0 имеем у=0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.

4 При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно

называется фокальным радиусом точки М.

Рисунок 67

Уравнения y2 =−2px, х2 =2pу, х2 =−2pу определяют параболы, изображенные на рисунке 68.

Рисунок 68

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена y = Аx2 + Вх+С, где А≠0, В,С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле, приведенного выше, ее определения.

183

5 Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Напишем сначала уравнение эллипса с центром в точке О1(х0 , у0 ), оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу, и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса О1 начало новой системы координат О1х′у′', оси которой О1х′ и О1 у′ параллельны соответствующим осям Ох и Оу, и одинаково с ними направлены (рисунок 69)

Рисунок 69

В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид x′2 + y′2 =1 a2 b2

Так как х′=х−х0 , у′= у− у0 , то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде

(x − х0 )2 +( y − у0 )2 =1 a2 b2

- уравнение параболы с центром в точке О1(х0 , у0 ) и полуосями а и b.

Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке О1(х0 , у0 ), действительной полуосью а и мнимой полуосью b (рисунок 70):

(x − х0 )2 −( y − у0 )2 =1. a2 b2

Рисунок 70

184

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 71, имеют соответствующие уравнения.

Рисунок 71

Уравнение Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+F =0 и его геометрическое толкование

Очевидно, уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Уравнение (7.40) является частным случаем общего уравнения второй степени относительно x и y , т.е. уравнения вида

которое называют общим уравнением кривой второго порядка на плоскости.

Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка, т.е. уравнение

(7.41), где A + B + C ≠ 0 , B :

Выясним, какие кривые соответствуют этому уравнению. Возможны следующие случаи:

1 AC > 0 (эллиптический тип). Без ограничения общности можно считать, что A и C - положительные числа.

В уравнении (7.42) дополняем до полного квадрата члены, содержащие x2

185

и x , а также y2 и y . После этого уравнение можно будет записать в виде

где a2 = F1 A ; b2 = F1 C . Это уравнение определяет эллипс.

Если F1 < 0 , то уравнению (7.43) никакие действительные значения x и y

не удовлетворяют, следовательно, этому уравнению соответствует пустое множество.

Если F1 = 0 , то уравнение (7.43) принимает вид

A(x − x0 )2 + C(y − y0 )2 = 0

и определяет точку M (x0 , y0 ).

2 AC < 0 (гиперболический тип). Не нарушая общности, можно считать, что A > 0 , C < 0 . Как и в первом случае, уравнение (7.42) можно привести к виду

(7.43).

Если F1 > 0 , то уравнение (7.43) можно записать в виде

Оно определяет гиперболу, действительная ось которой параллельна оси Ox . Если F1 < 0 , то получим гиперболу, заданную уравнением

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Oy . Если F1 = 0 , то уравнение (7.43) принимает вид

A(x − x0 )2 + C(y − y0 )2 = 0 .

Докажем, что ему соответствует пара пересекающихся прямых.

Введем обозначения A = m2 , C = −n2 и запишем уравнение в виде

m2 (x − x0 )2 − n2 (y − y0 )2 = 0

или (m(x − x0 )− n(y − y0 ))(m(x − x0 )+ n(y − y0 ))= 0 .

Это уравнение равносильно следующим двум: m(x − x0 )− n(y − y0 )= 0 ;

m(x − x0 )+ n(y − y0 )= 0 ,

каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку M (x0 , y0 ).

3 AC = 0 (параболический тип). Предположим, что A ≠ 0 , C = 0 , т.е.

уравнение (7.42) имеет вид

Ax2 + Dx + Ey + F = 0 .

Не нарушая общности, можно считать, что A > 0 . Дополнив члены, содержащие

186

x2 и x , до полного квадрата, получим A(x − x0 )2 + Ey = F1 . Если E ≠ 0 , то уравнение можно записать в виде

(y − y0 )= a(x − x0 )2 .

Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси

Oy .

Если E = 0 и F1 > 0 , то уравнение

которые определяют пару параллельных прямых.

Если E = 0 и F1 < 0 , то получим также уравнение (7.44), которому в этом

случае соответствует пустое множество.

Если E = 0 и F1 = 0 , то уравнение примет вид

A(x − x0 )2 = 0 .

Оно определяет пару совпадающих прямых x − x0 = 0 .

Если предположить, что A = C , C ≠ 0 , то уравнение (7.42) будет иметь вид

Cy2 + Dx + Ey + F = 0 .

Аналогично предыдущему можно доказать, что это уравнение при D ≠ 0 определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ox , и может быть приведено к виду (x − x0 )= a(y − y0 )2 .

Если D = 0 , то уравнение определяет пару параллельных (в частности слившихся) прямых или пустое множество.

Итак, справедлива следующая теорема:

Теорема 7.2. Уравнение (7.40) всегда определяет: либо окружность (при

А=С), либо эллипс (при А С>0), либо гиперболу (при А С<0), либо параболу (при

АС=0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) —

вточку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

Например, установим вид кривой второго порядка, заданной уравнением

4x2 − y2 +8x −8y −12 =0(АС=−4 <0).

Для этого преобразуем исходное уравнение, выделив полный квадрат (и по x и по y ):

4(x2 +2x +1) −(y2 +8y +16) −4 +16−12=0, 4(x +1)2 −(y +4)2 =0,

(2(x +1) +(y +4)) (2(x +1) −(y +4)) =0, (2x + y +6)(2x − y −2) =0.

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2x + y +6 =0 и 2x − y −6 =0.

187