Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) с действительной матрицей

является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Например: 1) Квадратичная форма

f = 5x12 + x22 + 5x32 + 4x1x2 −8x1x3 − 4x2 x3

положительно определена, так как ее главные миноры

положительны.

2) Квадратичная форма

f = 3x12 + x22 + 5x32 + 4x1x2 −8x1x3 − 4x2 x3

не будет положительно определенной, так как ее второй главный минор отрицателен:

3 2 = −1.

2 1

Заметим, что по аналогии с положительно определенными квадратичными формами можно ввести отрицательно определенные формы, т.е. такие невырожденные квадратичные формы с действительными коэффициентами, нормальный вид которых содержит лишь отрицательные квадраты неизвестных.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются иногда полуопределенными. Наконец, неопределенными будут такие квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных.

Приведем также без доказательства теорему о необходимом и достаточном условии того, что квадратичная форма является отрицательно определенной.

Теорема 12.7 Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного – отрицательны.

12.6 Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Докажем, что действительную квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального оператора.

299

f , причем столбцами матрицы С являются собственные векторы-столбцы

вектором-столбцом матрицы A с собственным числом λj .

Теорема 12.9 Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональный оператор, приводящий ее к каноническому виду.

300

- неотрицательно (неположительно) определенной, если f ( x ) ≥ 0 ( f ( x ) ≤ 0 ) для любого столбца x , для которого f ( x ) = 0 ;

-знакопеременной (неопределенной), если существуют такие столбцы x

иy , что f ( x ) > 0 и f ( y ) < 0 .

Как следует из определения, тип квадратичной формы зависит только от множества значений, которые она принимает, но не зависит от переменных, в которых она записана. Поэтому, представив квадратичную форму в каноническом виде, получаем следующие критерии для типа квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений ее матрицы.

Хотя эта таблица дает удобную характеристику типам квадратичных форм, ее использование для определения типа конкретной квадратичной формы связано с вычислением собственных значений матрицы. А это достаточно трудоемкая операция. На самом деле во многих случаях тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы. Метод состоит в вычислении и проверке знаков некоторых миноров матрицы квадратичной формы. Введем следующие обозначения.

Пусть матрица квадратичной формы f ( x ) = xT Ax имеет вид

где aij = a ji , i, j =1, n . Рассмотрим угловые миноры этой матрицы (которые также называют главными минорами):

302

Как видим, угловой минор порядка k расположен на пересечении первых k строк и первых k столбцов матрицы. Угловой минор максимального, n -го порядка представляет собой определитель матрицы.

Теорема 12.12 (критерий Сильвестра) Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства ∆1 > 0 , ∆2 > 0 , ∆3 > 0 , …, ∆n > 0 .

Следствие 1 Для того чтобы квадратичная форма n переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

неравенства − ∆1 > 0 , ∆2 > 0 , − ∆3 > 0 , …, ( −1)n ∆n > 0 (знаки угловых миноров

чередуются начиная с минуса).

Доказательство. Если квадратичная форма f ( x ) отрицательно определена, то квадратичная форма − f ( x ) положительно определена, и наоборот. Матрицей квадратичной формы − f ( x ) является матрица − A , противоположная матрице A квадратичной формы f ( x ). Согласной критерию Сильвестра, для положительной определенности квадратичной формы − f ( x ) необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ∆′r , r =1, n , матрицы − A были положительны. Но при умножении матрицы A на число −1 все ее элементы умножаются на это число и поэтому ∆′r =( −1)r ∆r , где ∆r - угловой минор порядка r матрицы A. Таким образом, квадратичная форма − f ( x ) положительно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства ( −1)r ∆r > 0 , r =1, n , и это условие эквивалентно тому, что квадратичная форма f ( x ) отрицательно определена.

Следствие 2 Невырожденная квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено хотя бы одно из условий:

-один из угловых миноров равен нулю;

-один из угловых миноров четного порядка отрицателен;

-два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.

Доказательство. Невырожденная квадратичная форма может либо

положительно определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной – в зависимости от знаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если имеется нулевой угловой минор или один из угловых миноров четного порядка отрицателен, то, согласно теореме 12.12 и следствию 1, эта квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной. То же можно утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с разными знаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма знакопеременная.

Критерий Сильвестра и его следствия показывают, что тип квадратичной формы полностью определяется свойствами ее матрицы. Поэтому термины, введенные определением, можно перенести на симметрические матрицы. В частности, симметрическую матрицу A называют положительно

303

(отрицательно) определенной и пишут A > 0 ( A < 0 ), если положительно

(отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма. Согласно теореме 12.12 и ее следствиям, симметрическая матрица положительно определена, если все ее угловые миноры положительны. Симметрическая матрица отрицательно определена, если у ее угловых миноров знаки чередуются начиная со знака минус.

Следствие 3 Если симметрическая матрица положительно определена, то все ее диагональные элементы положительны.

Доказательство. Если A = (aij ) - симметрическая положительно

определенная матрица порядка n , то ее первый угловой минор положителен, т.е. a11 = ∆1 > 0 . Воспользовавшись тем, что утверждение следствия верно для

диагонального элемента a11 , докажем что и aii > 0 при i > 0 . В квадратичной форме xT Ax , x = (x1 , ..., xn )T сделаем замену переменных

В новых переменных матрица A′ = (aij′ ) квадратичной формы такова, что

aii = a11′ > 0 .

Рассмотрим примеры на применение критерия Сильвестра. 1) Квадратичная форма xT Ax от трех переменных с матрицей

2) Квадратичная форма xT Ax от трех переменных с матрицей

является знакопеременной, так как она невырождена ( ∆3 ≠ 0 ) и ∆1 =1 > 0 , а

∆2 = −8 < 0 .

3)Квадратичная форма 2x1x2 от двух переменных является знакопеременной, так как она невырождена ( ∆2 = −1 ≠ 0 ), а ∆1 = 0 .

4)Квадратичная форма f (x1 , x2 , x3 , x4 )= 4x1x3 + 2x2 x4 + x42 имеет угловые

миноры ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 , ∆4 = 4 и, согласно следствию 2, является

знакопеременной. В этом можно убедиться, используя несложное преобразование вида квадратичной формы:

f (x1 , x2 , x3 , x4 )= (x1 + x3 )2 − x22 − (x1 − x3 )2 + (x2 + x4 )2 .

304

12.7 Применение теории квадратичных форм в задачах о приведении к каноническому виду уравнения кривой второго порядка и уравнения поверхности второго порядка

1 Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Дано уравнение кривой второго порядка в прямоугольной системе координат Oxy

Требуется с помощью поворота и параллельного переноса осей координат перейти к такой прямоугольной системе координат, в которой уравнение кривой имеет канонический вид.

Рассмотрим квадратичную форму, связанную с уравнением (12.30),

a11x2 + 2a12 xy + a22 y2 .

Ее матрица имеет вид

(столбцы) матрицы A. Их всегда можно выбрать так, что det P =1. Матрица P в силу свойства ортогональных матриц второго порядка имеет вид

т.е. P - матрица оператора поворота на угол ϕ в пространстве V2 векторов на плоскости. При таком повороте прямоугольная система координат Oxy с координатными векторами i, j (базис в пространстве V2 ) переходит в прямоугольную систему координат Ox′y′ с координатными векторами i′, j′ (другой базис в пространстве V2 ), причем (i′ j′)= (i j)P .

Пользуясь формулами (12.31), выразим, линейные члены 2b1x + 2b2 x уравнения (12.30) через координаты x′, y′. В результате в системе Ox′y′ уравнение кривой примет вид

λ1(x′)2 + λ1(y′)2 + 2b1′x′ + 2b2′ y′ + c = 0 ,

т.е. в уравнении отсутствует смешанный член (с произведением x′y′).

Далее, выделив полные квадраты по обеим переменным (или по одной переменной, если одно из чисел λi равно нулю), с помощью параллельного

305

переноса осей координат системы Ox′y′ переходим к системе O′x′′y′′, в которой

уравнение кривой имеет канонический вид.

Напомним известные вам сведения из аналитической геометрии. Уравнение кривой второго порядка может быть приведено к одному из следующих канонических видов:

к каноническому виду с помощью поворота осей координат системы Oxy и последующего параллельного переноса.

Решение. Приведем квадратичную форму 11x2 − 20xy − 4 y2 , связанную с

уравнением (12.32), ортогональным оператором к каноническому виду. С этой целью составим матрицу квадратичной формы:

у которой det P =1. Матрица P является матрицей оператора поворота на угол ϕ

При этом координаты точек преобразуются по формуле

306

При ортогональном преобразовании (12.33) квадратичная форма переходит в форму

λ1(x′)2 + λ1(y′)2 = −9(x′)2 +16(y′)2 .

Запишем в новых координатах линейные члены уравнения (12.32):

−20x −8y = − 365 x′ + 325 y′.

Всистеме координат Ox′y′ уравнение кривой принимает вид

−9(x′)2 +16(y′)2 − 365 x′ + 325 y′ +1 = 0 .

Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем

т.е. производя параллельный перенос осей координат так, что начало координат

Это – каноническое уравнение гиперболы в системе координат O′x′′y′′.

2 Приведение уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду

Фигурой второго порядка в пространстве называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

307

где a112 + a222 + a332 + 2 a122 + 2 a213 a232 ≠ 0 .

Сумма первых шести членов левой части уравнения (12.34) представляет собой квадратичную форму трех переменных x, y, z :

являются попарно ортогональными нормированными ее собственными векторами. Определитель матрицы, составленной из этих столбцов, равен −1,

308