Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

координатами выбранной точки поверхности (точки касания). Эти же уравнения показывают, что в каждом из указанных случаев задания поверхности косинусы

углов нормали с осями координат необходимо приведенные выше угловые коэффициенты нормировать. Например, в последнем случае косинусы углов нормали с осями определятся выражениями:

339

измерения m имеем

x ддFx + y ддFy + z ддFz + t ддFt ≡ mF(x, y, z, t);

если точка (x, y, z, t) принадлежит поверхности, то F (x, y, z, t)= 0 , а потому x ддFx + y ддFy + z ддFz + t ддFt = 0 .

Разделим полученное соотношение на t и прибавим его почленно к уравнению (14.12), отнесенному к однородным координатам, т. е. к уравнению

Это будет уравнение касательной плоскости в точке (x, y, z, t) для

поверхности, заданной своим уравнением (14.3) в однородных координатах.

Координатное уравнение (14.12) касательной плоскости мы получили из ее векторного уравнения (14.9), но его можно легко получить и непосредственно.

лежащую на поверхности (14.3), так что

F (x(s), y(s), z(s))≡ 0 .

Чтобы определить зависимость между угловыми коэффициентами касательной

к выбранной на поверхности линии, дифференцируем тождество (14.14), тогда

одновременно, то такая точка поверхности называется обыкновенной; угловые коэффициенты касательной к какой-либо линии на поверхности связаны

т. е. уравнение плоскости (касательной), содержащей касательную прямую к любой линии на поверхности в данной точке.

Предположим теперь, что для выбранной точки (x, y, z) поверхности

340

такая точка поверхности называется особой. В этом случае соотношение (14.15) исчезает и не дает уравнения плоскости, как геометрического места касательных к различным линиям, лежащим на поверхности и проходящим через выбранную точку.

линиям на поверхности, проходящим через особую точку (x, y, z), получим уравнение

Это будет уже уравнение некоторого конуса 2-го порядка. Таким образом, в этой особой точке поверхности все касательные к различным линиям, лежащим на поверхности и проходящим через выбранную ее точку, лежат на конусе 2-го порядка. Если все частные производные 2-го и высших порядков от функции F обращаются в нули, но производные некоторого порядка m существуют, конечны и не обращаются в нуль одновременно в данной точке, то геометрическое место касательных к разным линиям, лежащим на поверхности и проходящим через эту точку, будет конус порядка m . Вот почему такие особые точки поверхности называются также коническими точками поверхности. Нетрудно видеть, например, что вершина конуса порядка m будет как раз конической точкой.

Например, найдем для поверхности

341

Касательные плоскости, проходящие через прямую

0x = 1y = z−−1c .

Касательная плоскость к данной поверхности в некоторой ее точке (x, y, z) изобразится уравнением

Эта плоскость проходит через заданную прямую, если она содержит ее точку (0, 0, c) и параллельна направленную (0 :1: −1), т.е. если выполняются условия

Присоединив сюда уравнение самой поверхности, найдем для точек касания плоскостей, проходящих через указанную прямую, следующие значения координат:

следовательно, задача имеет четыре (действительных) решения.

14.3 Первая квадратная форма поверхности

так называемые координатные семейства линий. Какая-нибудь произвольная линия на поверхности изобразится либо уравнением

причем в этом выражении мы должны использовать либо соотношение (14.20), либо соотношения (14.21).

Примем обозначения Гаусса:

или в координатах:

342

тогда

Квадратичная относительно дифференциалов du , dv форма (14.24) называется

линейным элементом поверхности или первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты B , F , G называются коэффициентами линейного элемента поверхности; они становятся известными, когда задана поверхность уравнениями (14.18) или векторным уравнением (14.19). Если поверхность действительна, то будут действительны и коэффициенты ее линейного элемента при этом дискриминант линейного элемента равен

т.е. он может быть представлен в виде суммы квадратов некоторых действительных величин, а потому он будет существенно положительной

величиной; будем его обозначать через H 2 . Под корнями квадратными

H = EG − F 2 , E , G

будем всегда подразумевать их положительные значения.

На основании сказанного выше из линейного элемента поверхности получим, например, для линии v = const дифференциал ее дуги, полагая dv = 0 в квадратичной форме (14.24); итак, дифференциал дуги линии v = const будет

dsv = Edu ;

аналогично для линии u = const дифференциал дуги равен dsu = Gdv .

Отсюда, далее, следует, что единичный вектор касательной к линии v = const (в сторону возрастания параметра u ) будет

единичный вектор касательной к другой координатной линии u = const (в сторону возрастания параметра v ) изобразится в виде

343

Скалярное произведение этих единичных векторов даст косинус угла, образованного касательной к координатным линиям, или косинус угла, под которым пересекаются координатные линии в рассматриваемой точке; назовем указанный угол w координатным углом на данной поверхности, тогда

пересекаются под прямым углом; обратно, для того чтобы координатные линии в каждой точке поверхности пересекались под прямым углом, необходимо, чтобы коэффициент F тождественно был равен нулю. Следовательно, условие F = 0

есть условие ортогональности координатных линий на поверхности.

Пусть имеем на поверхности две какие-нибудь линии или два семейства линий, смещение по линии первого семейства будем обозначать знаком дифференциала d , смещение же по линии другого семейства знаком дифференциала δ . Тогда вектор dρ даст направление касательной к линии

первого семейства, вектор δρ даст направление касательной к линии второго семейства; если эти касательные ортогональны в каждой точке пересечения линии первого семейства с линией второго, то скалярное произведение векторов dρ и δρ должно обращаться в нуль:

dρδρ = 0.

Развертывая дифференциалы и перемножая их:

dρδρ = (ρ1du + ρ2dv)(ρ1δu + ρ2δv)= Eduδu + F (duδv + dvδu)+ Gdvδv

получим условие ортогональности двух семейств линий на поверхности в окончательном виде:

(например x и y ) билинейная дифференциальная форма (14.26) по отношению к

квадратичной дифференциальной форме (14.24) называется ее полярной формой; поэтому мы можем сказать, что условие (14.26) ортогональности двух семейств линий на поверхности представляет собой равенство нулю полярной формы линейного элемента поверхности.

Если первое семейство линий определяется уравнением f (u, v)= 0 ,

тогда

344

дv дu

подставив найденное отношение du : dv в условие (14.26), получим для определения второго семейства, ортогонального к первому, дифференциальное уравнение 1-го порядка:

Например, найдем семейство линий, ортогональных к прямолинейным образующим той или другой серии гиперболического параболоида

уравнение ортогональной к образующим v = const в виде

(p + q + 4v2 )du + (p − q + 4uv)dv = 0 ;

это уравнение можно представить в виде линейного уравнения 1-го порядка

его интеграл, т.е. уравнение искомого семейства линий, ортогональных к образующим v = const , будет

u p + q + 4v2 + p 2− q ln(2v + p + q + 4v2 )= C1 .

Аналогично, семейство линий, ортогональных к прямолинейным образующим u = const (δu = 0 ), определится дифференциальным уравнением

(p − q + 4uv)du + (p + q + 4u2 )dv = 0

345

14.4 Вторая квадратичная форма поверхности

Выражение

−dρdN = −(ρ1du + ρ2dv)(N1du + N2dv)= −ρ1N1du2 −

−(ρ1N2 + ρ2 N1 )dudv − ρ2 N2dv2

называется второй (гауссовой) квадратичной формой поверхности; ее

(14.30)

с помощью которых легко вычислить D , D′, D′′, когда поверхность задана параметрическими уравнениями (14.18).

346

Обе квадратичные формы Гаусса играют существенную роль при исследовании поверхности, так как все элементы поверхности могут быть определены через коэффициенты ее основных форм.

14.5 Вопросы для самоконтроля

1Какая поверхность называется алгебраической?

2Как называются неалгебраические поверхности?

3Как определить поверхность в параметрической форме?

4Что значит: координатные линии на поверхности?

5Как задать поверхность в векторной форме?

6Что значит координатные линии на поверхности?

7Сформулируйте определение касательной плоскости заданной поверхности.

8Запишите уравнение касательной плоскости в точке поверхности в координатной форме.

9Запишите уравнение касательной в точке ) для поверхности(x, y, z, t

F (x, y, z, t)= 0 .

10 Сформулируйте определение нормали поверхности в точке.

11 Какая точка поверхности называется особой?

12 Какая точка поверхности называется обыкновенной?

13 Запишите уравнение конуса второго порядка.

14 Какие точки называются коническими точками?

15 Какие линии образуют на поверхности координатные семейства линий? 16 Что называется первой основной квадратной формой?

17 Запишите единичный вектор касательной к линии v = const . 18 Что означает координатный угол на данной поверхности?

19 Запишите условие ортогональности координатных линий на поверхности.

20 Что называется второй (гауссовой) квадратичной формой поверхности?

347

Глава 15 Топология

15.1 Что такое топология?

Что касается меня, то все различные пути, на которых я последовательно находился, приводили меня к Analysis situs.

А. Пуанкаре

Топология как наука сформировалась, по общему мнению, в трудах великого французского математика Анри Пуанкаре в конце XIX в. Первые наблюдения топологического характера восходят к Л. Эйлеру и К. Гауссу. Начало топологических исследований можно отнести к работам Б. Римана (середина XIX в.). В его исследованиях по теории функций были развиты новые методы, основывающиеся на геометрических представлениях. Б. Риманом была сделана попытка сформулировать понятие многомерного многообразия и ввести высшие порядки связности. Эти понятия были уточнены Э. Бетти (1871). Но только А. Пуанкаре, исходя из потребностей теории функций и дифференциальных уравнений, ввел целый ряд важнейших топологических понятий, развил содержательную теорию и применил ее к исследованиям в различных разделах математики и механики. Его идеи и поставленные им проблемы до сих пор существенно влияют на развитие топологии и ее приложений.

А. Пуанкаре так определял содержание Analysis situs* (как тогда называли топологию): «Analysis situs есть наука, которая позволяет нам узнавать качественные свойства геометрических фигур не только в обычном пространстве, но также и в пространстве более трех измерений. Analysis situs в трех измерениях является для нас познанием почти интуитивным; напротив, Analysis situs в более чем трех измерениях представляет громадные трудности, и чтобы начать пытаться их преодолевать, нужно быть очень убежденным в крайней важности этой науки. Если эта важность не всеми понята, то это потому, что об этом недостаточно размышляли».

Чтобы уяснить, что понимается под качественными свойствами геометрических фигур, представим себе сферу в виде резиновой оболочки и разрешим сжимать и растягивать ее любым способом без разрывов и не «склеивающим» различные ее точки в одну. Такие преобразования сферы называются гомеоморфизмами, а различные фигуры, получающиеся при гомеоморфизмах, - гомеоморфными между собой. Так вот, качественные свойства сферы – это свойства, общие всем гомеоморфным ей фигурам, или, как говорят, сохраняющиеся при гомеоморфизмах.

Очевидно, можно говорить о гомеоморфизмах и качественных свойствах и других фигур. Качественные свойства принято также называть

* Analysis situs – геометрия положения (перевод с латинского), этот термин как название дисциплины ввел Б.Риман; термин «топология» (от греч. τοπος - место, λογος - закон) ввел И.Б. Листинг (1847).

348