Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Пусть f и g - линейные операторы некоторого линейного пространства. В соответствии с определением для любых векторов x1 , x2 этого пространства

f (αx1 + βx2 )=α f (x1 )+ β f (x2 ), g(αx1 + βx2 )=α g(x1 )+ β g(x2 ),

где α и β - любые числа. Принимая во внимание формулу (11.25), получаем

go f (αx1 + βx2 )= g(f (αx1 + βx2 ))= g(α f (x1 ))+ g(β f (x2 ))= =α g(f (x1 ))+ β g(f (x2 ))=α go f (x1 )+ β go f (x2 ),

а это означает, что g o f - линейный оператор.

Теорема 11.14 Если в некотором базисе линейные операторы f и g имеют соответственно матрицы A и B , то оператор произведения g o f в том

1.α(fg )= (αf )g .

2.f (gh)= (fg )h .

3.(f + g )h = fh + gh .

4.f (g + h)= fg + fh

5.Умножение операторов некоммутативно, т.е., вообще говоря, fg ≠ gf .

Коммутатором линейных операторов f и g называется оператор

в некотором базисе. Найдем матрицы C и D операторов соответственно g o f и f o g в том же базисе.

Решение. Согласно доказанной теореме

279

Линейный оператор называется невырожденным, если его матрица невырожденная. В противном случае оператор называется вырожденным.

Теорема 11.15 Невырожденный линейный оператор является взаимно однозначным. И, обратно, всякий взаимно однозначный оператор является невырожденным.

Доказательство. Пусть f - невырожденный линейный оператор. Докажем, что для каждого вектора y* (y*1 , y*2 , ..., y*n ) существует единственный вектор x , такой, что f( x ) = y * , или

Так как система (11.26) – невырожденная, то она имеет единственное решение: x1* , x*2 , ..., xn* . Следовательно, вектор y* имеет единственный прообраз

x* (x*1 , x*2 , ..., x*n ).

Докажем обратное. Пусть f - взаимно однозначный линейный оператор,

определенная. Следовательно, det A ≠ 0 , и оператор f невырожденный.

Теорема 11.16 Для того, чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил ненулевой вектор в ненулевой.

Доказательство. Необходимость. Пусть данный линейный оператор f

невырожденный. Всякий линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой, а так как невырожденный оператор взаимно однозначен, то он переводит ненулевой вектор в ненулевой.

x* (x*1 , x*2 , ..., x*n )в нулевой, что противоречит условию.

280

Отметим, что единичная матрица любого порядка является ортогональной.

Теорема 11.18 Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A выражается равенством

Это означает, что A - ортогональная матрица.

282

Следствие 1 Модуль определителя ортогональной матрицы равен 1.

Действительно, из (11.33) получаем det(AT A)= det E , det AT det A = det E , det A det A = det E , (det A)2 =1, det A = ±1, det A =1.

Следствие 2 Ортогональная матрица является невырожденной матрицей. Это следует из предыдущего утверждения.

Следствие 3 Произведение двух ортогональных матриц есть

AT A = E , т.е. A - ортогональная матрица.

Следствие 5 Матрица, полученная транспонированием ортогональной

ортогональной, так как AT A ≠ E .

Замечание 2. Сумма ортогональных матриц не является ортогональной матрицей.

Замечание 3. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A можно выразить равенством AT A = E .

Теорема 11.19 Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

283

Доказательство. Пусть e1 , e2 , ..., en и e1′, e2′ , ..., en′ - два ортонормированных базиса евклидова n -мерного пространства и T = (tij ) - матрица перехода от

первого базиса ко второму, т.е. e1′ = t11 e1 + t21 e2 + ... + tn1 en ,

e2′ = t12 e1 + t22 e2 + ... + tn2 en ,

......................................

en′ = t1n e1 + t2n e2 + ... + tnn en .

Так как e1′, e2′ , ..., en′ - ортонормированный базис, т.е.

Это означает, что T = (tij )- ортогональная матрица.

11.13 Ортогональные операторы

Линейный оператор f евклидова пространства Ε называется ортогональным, если для любых x, y Ε выполняется условие

(x, y)= (f( x ), f( y )).

Теорема 11.20 Для того чтобы оператор f : Ε → Ε был ортогональным,

необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональна.

(x, y)= (f( x ), f( y )). Тогда из равенств (11.34) и (11.35) имеем X T Y = X T AT AY .

Из последнего равенства следует, что AT A = E , поэтому матрица A ортогональная.

284

Достаточность. Пусть матрица A ортогональная, т.е. AT A = E . Тогда из равенств (11.34) и (11.35) имеем

(f( x ), f( y ))= X T AT AY = X T EY = X T Y =( x, y ),

и, следовательно, оператор f ортогональный.

Теорема 11.21 Для того чтобы линейный оператор евклидова пространства был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы он ортонормированный базис переводил в ортонормированный.

Доказательство. Необходимость. Пусть f - ортогональный оператор евклидова пространства, имеющий в некотором ортонормированном базисе

является ортогональным.

Замечание: из доказательства теоремы следует, что если линейный оператор переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный, то этот оператор всякий ортонормированный базис переводит в ортонормированный. При этом оператор является ортогональным.

Теорема 11.19 Для того чтобы линейный оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы он не менял длину вектора.

Доказательство. Необходимость следует из определений линейного ортогонального оператора и длины вектора.

Достаточность. Пусть линейный оператор f не меняет длину вектора. Найдем x + y 2 и f( x + y ) 2 :

x + y 2 = (x + y, x + y)= x 2 + 2( x, y ) + y 2 ;

f (x + y)2 = (f (x + y), f (x + y))= (f( x ) + f( y ), f( x ) + f( y ))= = f (x)2 + f (y)2 + 2(f( x ), f( y )) .

Из этих равенств, учитывая, что оператор f не меняет длину вектора,

имеем (x, y)= (f(x), f(y)).

285

Для ортогонального оператора справедливы следующие утверждения.

1.Ортогональный оператор – невырожденный.

2.Для ортогонального оператора существует обратный оператор, который также является ортогональным.

3.Если A - матрица ортогонального оператора, то AT - матрица оператора, обратного данному.

4.Произведение ортогональных операторов также является ортогональным оператором.

11.14 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение линейного оператора.

2Какие два оператора называются равными?

3Какой оператор называется биективным?

4Какая матрица называется матрицей линейного оператора?

5Какой оператор называется линейным однородным оператором?

6Назовите условие при котором линейный однородный оператор называется невырожденным.

7Запишите и разъясните формулу, связывающую матрицы линейного оператора в разных базисах.

8Как связаны между собой ранги матриц одного и того же линейного оператора в разных базисах?

9При выполнении какого условия две квадратные матрицы будут являться матрицами одного и того же линейного оператора?

10Сформулируйте определение ядра линейного оператора, образа линейного оператора (обозначения).

11 Как характеризуется ядро оператора f :V →V , если из условия x1 ≠ x2 следует, что f (x1) ≠ f (x2 ) ?

12Сформулируйте определение ранга оператора, дефекта оператора (обозначение).

13Сформулируйте и докажите теорему о численном значении ранга и дефекта оператора.

14Дайте определение характеристического многочлена и характеристического уравнения линейного оператора.

15Какой вектор называется собственным вектором линейного

оператора?

16Что значит собственное значение вектора?

17Сформулируйте и докажите свойства собственных векторов и собственных значений.

18Какая матрица называется симметрической?

19Сформулируйте и докажите теорему о собственных векторах действительной симметрической матрицы соответствующих различным собственным значениям.

286

20 Какой линейный оператор называется оператором простой структуры?

21Что значит диагонализируемый оператор?

22Докажите необходимое и достаточное условия диагонализируемости линейного оператора.

23Какая матрица называется диагонализирующей заданную матрицу?

24Сформулируйте и докажите теорему-условие диагонализируемости

матрицы.

25Что называется произведением линейных операторов?

26Докажите, что произведение линейных операторов является линейным оператором.

27Сформулируйте и докажите теорему о матрице произведения линейных операторов.

28Сформулируйте определение суммы линейных операторов.

29Докажите, что сумма линейных операторов является линейным оператором.

30Сформулируйте и докажите теорему о матрице суммы линейных операторов.

31Какой линейный оператор называется невырожденным (вырожденным)?

32Докажите теорему о биективности невырожденного линейного

оператора.

33Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия невырожденности оператора.

34Сформулируйте и докажите теорему о произведении двух невырожденных операторов.

35Какие два линейных оператора называются взаимнообратными?

36Как найти матрицу оператора, обратного данному?

37Какой оператор называется ортогональным?

38Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия ортогональности линейного оператор (на основе матрицы).

39Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия ортогональности линейного оператор (на основе базиса).

40Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия ортогональности линейного оператор (на основе длины вектора).

287

Глава 12 Квадратичные формы

12.1 Основные определения

Истоки теории квадратичных форм лежат в аналитической геометрии, а именно в теории кривых (и поверхностей) второго порядка. Мы уже знаем, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскости, после перенесения начала прямоугольных координат в центр этой кривой, имеет вид

Далее, также из курса аналитической геометрии мы знаем, что можно совершить такой поворот осей координат на некоторый угол α , т. е. такой переход от координат х, у к координатам x′, y′:

что в новых координатах уравнение кривой будет иметь канонический вид

В уравнении (12.3) коэффициент при произведении неизвестных x′y′ равен

нулю. Преобразование координат (12.2) можно толковать, очевидно, как линейное, т.е. как линейный оператор. Этот оператор применяется к левой части уравнения (12.1), и поэтому можно сказать, что левая часть уравнения (12.1) невырожденным линейным оператором (12.2) превращается в левую часть уравнения (12.3).

Многочисленные приложения потребовали построения аналогичной теории для случая, когда число неизвестных вместо двух равно любому п, а коэффициенты являются или действительными, или же любыми комплексными числами.

Обобщая выражение, стоящее в левой части уравнения (12.1), мы приходим к следующему понятию.

Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2 , ..., xn , называется

сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Мы в дальнейшем будем рассматривать только действительные квадратичные формы.

Считая, что в квадратичной форме f уже сделано приведение подобных членов, введем следующие обозначения для коэффициентов этой формы:

288