Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Доказательство. В силу определения базиса линейного пространства V любой вектор x V имеет хотя бы одно представление вида (9.6). Предположим, что наряду с разложением (9.6) есть и другое разложение

x = x1′e1 + x2′e2 + ... + x′n en

вектора x . Тогда будет выполняться равенство

x = x1e1 + x2e2 + ... + xn en = x1′e1 + x′2e2 + ... + xn′en ,

которое приводит к равенству

(x1 − x1′)e1 + (x2 − x′2 )e2 + ... + (xn − x′n )en = 0 .

Последнее равенство в силу линейной независимости системы векторов

базису единственно.

Линейное выражение (9.6) вектора x через векторы базиса, единственное в силу сформулированной теоремы, называют разложением вектора x по базису e1 , e2 , ..., en . Это разложение удобно записывать в матричной форме

x1

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen = (e1 , e2 , ..., en ) xM2 = e [x],

xn

где e = (e1 , e2 , ..., en ) - заданный базис, записанный в виде матрицы-строки, а [x] -

229

Векторы линейного пространства V полностью определяются своими координатами в данном базисе. При этом операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над их координатами. Так, для векторов

и

λx = λ(x1e1 + x2e2 + ... + xn en )= (λx1 )e1 + (λx2 )e2 + ... + (λxn )en

показывают, что при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Например, в некотором базисе даны векторы x(2, −1, 3, 5) и y(−1,4, 0, − 2) . Найдем координаты вектора 2x − 3y .

Решение. Учитывая свойство (9.7), находим координаты вектора 2x − 3y : (2 2 − 3 (−1), 2 (−1) − 3 4, 2 3 − 3 0, 2 5 − 3 (−2)) = (7, −14, 6, 16).

линейного n -мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том же базисе. Системе векторов (9.8) поставим в соответствие матрицу

в k -м столбце которой записаны координаты вектора xk ( k =1, 2, ..., m ). Матрицу

(9.9) называют матрицей системы векторов (9.8) в данном базисе, а ранг этой матрицы – рангом системы векторов x1 , x2 , ..., xm . Обратно, если дана матрица

(9.9), ей можно поставить в соответствие систему (9.8) m векторов линейного n - мерного пространства. Столбцы матрицы (9.9) линейно зависимы, если векторы (9.8) линейно зависимы и обратно.

Приведем без доказательства теорему, которая позволяет судить о линейной независимости векторов, заданных своими координатами.

230

Теорема 9.11 Для того чтобы m векторов линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен m .

Следствие 1. Система n векторов n -мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов является невырожденной.

Следствие 2. Если ранг матрицы системы m векторов линейного пространства равен r , максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно r .

Например, найдем максимальное число линейно независимых векторов в системе a1 (1, 4, 2, 7) , a2 (−1, − 2, − 3, − 6) , a3 (0, 5, 0, 5) , a4 (3, 0, 6, 9) , a5 (2, 3, 1, 6) .

Решение. Матрица данной системы векторов имеет вид

Так как ранг этой матрицы равен трем, то максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно трем.

Замечание. Можно доказать, что максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т.е. равно рангу этой матрицы.

9.5 Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора

Рассмотрим в линейном пространстве V два базиса:

есть матрица перехода от базиса (9.10) к базису (9.11), то

231

Из теоремы о линейной независимости векторов следует, что матрица перехода от базиса к базису является невырожденной и всякую невырожденную матрицу порядка n можно рассматривать как матрицу перехода от базиса к базису в n -мерном пространстве.

Задача преобразования координат заключается в нахождении зависимости между координатами вектора в разных базисах.

Формулы, связывающие координаты вектора в разных базисах,

называются формулами преобразования координат.

Теорема 9.12 Если x1, x2 , ..., xn - координаты вектора x в базисе

e1, e2 , ..., en , а x1′, x2′ , ..., xn′ - координаты этого же вектора в базисе e1′, e2′ , ..., en′ , то имеет место следующее соотношение:

232

Так как равенства (9.15) и (9.16) есть символическая запись разложения вектора x по базису e1, e2 , ..., en , а для каждого вектора разложение единственно,

233

Прежде всего, в W имеется нулевой элемент θ : если x W , то 0x =θ W . Для любого элемента x W имеется противоположный элемент − x : если x W , то (−1)x = −x W . Легко видеть, что аксиомы I – VIII для элементов множества

W будут выполнены. Отметим, что нулевой элемент θ линейного пространства V образует подпространство данного пространства, которое называют нулевым подпространством. Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство этого пространства. Эти подпространства называют тривиальными, а все другие, если они имеются, - нетривиальными.

Приведем примеры нетривиальных подпространств линейных пространств.

1)Множество V2 всех свободных векторов a(a1 , a2 ), параллельных

некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, является подпространством линейного пространства V3 .

2)Множество V1 всех свободных векторов a(a1 ), параллельных некоторой прямой, представляет подпространство линейного пространства V2 .

3)Множество {Pn−1 (x)} всех алгебраических многочленов степени, не

превышающей натурального числа n −1, является подпространством линейного пространства {Pn (x)}.

9.8 Линейная оболочка системы векторов

Пусть в линейном пространстве V над полем Р дана система векторов a1, a2 , ..., ak . Множество всевозможных линейных комбинаций

α1a1 +α2a2 + ... +αk ak

этой системы называют линейной оболочкой системы векторов a1, a2 , ..., ak .

Теорема 9.15 Линейная оболочка L системы векторов a1, a2 , ..., ak

является подпространством в X .

Доказательство. Действительно, если векторы a и b принадлежат L , т.е. имеют представления

a =α1a1 +α2a2 + ... +αk ak , b = β1a1 + β2a2 + ... + βk ak ,

то и векторы a + b и λa имеют такие представления: a + b = (α1 + β1 )a1 + (α2 + β2 )a2 + ... + (αk + βk )ak , λa = (λα1 )a1 + (λα2 )a2 + ... + (λαk )ak .

Следовательно, они принадлежат L, что и требовалось доказать. Линейную оболочку L системы векторов a1, a2 , ..., ak также называют

подпространством, порожденным этой системой векторов, или подпространством, натянутым на эту систему векторов, и обозначают

L = (a1, a2 , ..., an ).

236

Теорема 9.16 Линейное подпространство конечномерного линейного пространства является конечномерным, и размерность подпространства не превышает размерности всего линейного пространства.

Доказательство. Действительно, размерность конечномерного линейного пространства V может быть определена как максимальное количество линейно независимых векторов в этом пространстве. Очевидно, что максимальное количество линейно независимых векторов в любом подмножестве L в V не превышает максимального количества линейно независимых векторов в V . Отсюда следует утверждение теоремы.

Любое конечномерное линейное пространство порождается конечной системой векторов, например, любым своим базисом. Согласно доказанной теореме это верно и для всякого линейного подпространства линейного пространства.

Теорема 9.17 Пусть L - подпространство п-мерного линейного пространства V . Любой базис a1, a2 , ..., ak в L можно дополнить до базиса

a1, a2 , ..., ak , ak +1,..., an всего линейного пространства V , причем линейному

подпространству L принадлежат те и только те векторы, которые в указанном базисе имеют столбцы координат вида

Доказательство. Действительно, любой базис в L, как и вообще любую линейно независимую систему векторов в V можно дополнить до базиса линейного пространства V . Если вектор х имеет столбец координат (9.19), то он имеет представление

x = x1′a1 + x2′a2 + ... + xk′ ak + 0 ak +1 + ... + 0 an = x1′a1 + x2′a2 + ... + xk′ ak

и, следовательно, принадлежит L как линейная комбинация векторов, принадлежащих L. Если вектор х принадлежит L, он может быть разложен по базису a1, a2 , ..., ak

x = x1′a1 + x2′a2 + ... + xk′ ak

Это разложение в то же время является разложением вектора x в базисе a1, a2 , ..., an линейного пространства V , дающим столбец координат вида (9.19).

Теорема 9.18 Пусть V – конечномерное линейное пространство и в нем задан базис. Тогда для любого линейного подпространства L в V можно указать такую однородную систему линейных уравнений Ах = 0, что множество координатных столбцов всех векторов L будет совпадать с множеством решений системы Ах = 0.

Доказательство. Пусть e1, e2 , ..., en – заданный базис в V . Выберем в L некоторый базис в a1, a2 , ..., ak и дополним его векторами ak +1, ak +2 , ..., an до

базиса в V . Из предыдущей теоремы вытекает, что множество векторов линейного подпространства L в базисе a1, a2 , ..., an описывается системой

уравнений xk′ +1 =... = xn′ = 0 .

237

Пусть T – матрица перехода от базиса e1, e2 , ..., en к базису a1, a2 , ..., an . Тогда столбец координат xe вектора в базисе a1, a2 , ..., an связан со столбцом координат xe′ этого же вектора в базисе e1, e2 , ..., en равенством xe =Txa . Если столбец координат ха является решением однородной системы Ах = 0, то в силу соотношения xa =T −1xe столбец координат xe , является решением однородной системы AT −1x = 0 . Верно и обратное: если хе есть решение системыAT −1x = 0 , т.е. AT −1xe = 0 , то Axa = 0 , т.е., столбец ха является решением системы Ax = 0 . Из

этих рассуждений вытекает следующее: если некоторое множество в заданном базисе описывается однородной системой линейных уравнений (иными словами, совокупность всех столбцов координат векторов множества совпадает с множеством решений системы), то и в любом другом базисе это множество описывается некоторой системой линейных уравнений.

Так как линейное подпространство L в базисе a1, a2 , ..., an описывается

однородной системой линейных уравнений, то это подпространство в соответствии с только что доказанным и в базисе e1, e2 , ..., en описывается

системой линейных уравнений.

Однородную систему линейных уравнений, описывающую данное линейное подпространство L, называют общими уравнениями этого подпространства.

Например, составим общие уравнения линейного подпространства L = a1, a2 в четырехмерном линейном пространстве V , если векторы a1 и a2

заданы своими координатами в некотором базисе e :

Решение. Нетрудно убедиться в том, что система векторов a1 и a2 линейно

независима и потому составляет базис в линейном подпространстве L. Дополним эту систему до базиса в линейном пространстве V векторами a3 и a4 , в качестве

которых; можно взять пару векторов из базиса e :

238