Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

Например, вычислим радиус кривизны линии, определяемой уравнениями

Решение. Для данной системы уравнений дифференциалы координат определяются соотношениями

329

При подстановке выражений первых и вторых дифференциалов в формулу (13.31) члены с dm выпадают, а в окончательном результате сокращается множитель m , так что

13.7 Подвижной триедр

С каждой точкой кривой можно связать три направления, именно, касательную τ , главную нормаль ν и, наконец, направление, перпендикулярное к двум предыдущим (а следовательно, перпендикулярное к соприкасающейся плоскости), которое мы назовем бинормалью кривой. Бинормаль будем обозначать единичным вектором β и направление ее возьмем так, чтобы в данной

точке кривой три попарно ортогональных вектора τ , ν , β образовали левую

тройку (как и координатные оси).

Три указанных направления называют главными направлениями в данной точке линии.

Согласно определению главных направлений кривой в точке M мы будем иметь между ними следующие соотношения: во-первых, каждый из указанных векторов τ , ν , β будет единичным, поэтому скалярный квадрат каждого из них равен единице:

в силу их ортогональности скалярные произведения по два должны обращаться в нуль:

а каждый из них будет изображаться векторным произведением двух других в

330

ортогональная к касательной τ , называется нормальной плоскостью. Плоскость, содержащая τ и β и перпендикулярная к ν , называется спрямляющей плоскостью кривой по причине, которая будет разъяснена позднее.

Рисунок 114

Три главные плоскости – соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая – образуют в каждой точке основной триедр (трехгранник) кривой, который и называется подвижным триедром кривой.

13.8 Кручение кривой

Соприкасающаяся плоскость, направление которой определяется вектором β , для пространственной кривой будет изменяться по мере продвижения по кривой. Это изменение, характеризующее уклонение малого элемента кривой MM ′ от соприкасающейся плоскости в точке M , может быть определено

вектором ddsβ , построенным аналогично вектору кривизны, и называется

вектором кручения кривой в данной точке M . Его величина, очевидно, будет

где µ′ - угол близких бинормалей кривой.

Установим направление вектора кручения. Так как

то он, прежде всего, перпендикулярен к бинормали.

331

Далее, возьмем соотношение

τβ = 0

Итак, вектор кручения ddsβ перпендикулярен к бинормали и к касательной,

следовательно, он имеет направление по главной нормали (в ту или другую из ее сторон). Поэтому, очевидно

где t может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Если поворот вектора β к вектору β + ∆β происходит в положительном направлении (от ν к β и далее) на (положительный) угол µ′, то тогда стрелка

Итак, соотношение (13.37) будет иметь место в любом случае, как бы ни располагалась кривая вблизи точки M . Величина 1t называется кручением

кривой в точке M , а величина t называется радиусом кручения.

Формула (13.37) означает, что скорость вращения бинормали в каждой точке кривой равна ее кручению в этой точке, взятому с обратным знаком.

Для плоской кривой вектор β имеет постоянное направление (и длину, так как он всегда единичный), а потому

и обратно. Следовательно, кручение плоской кривой равно нулю.

Что касается вычисления самого кручения кривой или его радиуса в общем случае, то здесь неудобно пользоваться тем же приемом, какой применяли при вычислении радиуса кривизны. Действительно, если на основании формулы

332

(13.37) написать, что

то из этого соотношения известна лишь абсолютная величина t (но знак неизвестен). По этой причине нужно получить рациональное выражение для кручения. Из формулы (13.26) имеем

ν= rρ′′,

апотому

β=[τν]= r[ρ′ρ′′];

подставив это выражение для β в формулу (13.36), получим

νt = r[ρ′ρ′′]+ drds [ρ′ρ′′];

умножим теперь обе части этого соотношения скалярно на ν = rρ′′, тогда

1t = r 2 ρ′′[ρ′ρ′′′]= −r 2 ρ′ρ′′ρ′′′

или же

Если же перейти к координатам, то кручение кривой изобразится формулой

параметра, то обобщенные формулы для кручения, как нетрудно проверить, примут вид:

Как кривизна, так и кручение кривой первоначально определены

333

независимо от какой-либо координатной системы, поэтому выражения кривизны и кручения через декартовы координаты и их производные должны оставаться неизменными при переходе к любой другой декартовой системе координат (прямоугольной). Таким образом, координатные выражения кривизны и кручения являются инвариантами кривой по отношению к любому преобразованию координат.

13.9 Формулы Френе-Серре

Мы уже имеем выражение производных от двух главных векторов τ и β :

составим теперь производную от третьего вектора

ν =[βτ ].

Дифференцируя указанное его выражение и заменяя производные остальных векторов их значениями, получим

полученные соотношения, выражающие производные главных векторов, разложенные по направлениям последних, называются формулами Френе-Серре. Формулы Френе-Серре играют весьма существенную роль при исследовании свойств пространственных линий.

являются натуральными уравнениями пространственной кривой. Этими уравнениями сама пространственная кривая определяется вполне, не считая ее расположения в пространстве.

Радиусами кривизны и кручения r(s) и t(s), заданными в функциях дуги s , определяется единственная кривая, если не считать ее произвольного перемещения (переноса и поворота) в пространстве.

называют натуральными уравнениями кривой. Натуральные уравнения кривой вполне характеризуют (определяют) кривую независимо от какой-либо системы координат.

334

13.11 Вопросы для самоконтроля

1 Запишите общий вид уравнения кривой на плоскости, заданной в декартовой системе координат (в полярной системе координат).

2Параметрическое уравнение кривой (запишите уравнение, объясните смысл параметра).

3Какая линия называется алгебраической?

4Как определяется порядок линии, определяемой алгебраической функцией?

5Каким числом точек определяется кривая n -го порядка?

6В скольких точках пересекаются линии порядков m и n ?

7Запишите уравнение касательной к кривой, заданной уравнениями в параметрической форме.

10 Какие точки кривой называются особыми точками?

11 Запишите уравнение касательной, параллельной оси Ox .

12 Запишите уравнение касательной, параллельной оси Oy .

13 Сформулируйте определение нормали к кривой в заданной точке. 14 Какой угол называют углом смежности?

15 Запишите формулу кривизны K кривой в заданной точке. 16 Чему равна средняя кривизна для окружности?

17 Сформулируйте определение радиуса кривизны кривой в данной точке. 18 Запишите формулу для вычисления кривизны кривой.

19 Запишите формулу для вычисления радиуса кривизны кривой.

20 Какое уравнение кривой называют натуральным?

21Сформулируйте определение эволюты кривой.

22Как связаны между собой эволюта и нормали кривой?

23Сформулируйте определение эвольвенты.

24Сформулируйте определение соприкасающейся плоскости кривой.

25Дайте определение вектора кривизны кривой в заданной точке.

26Сформулируйте определение биноминали кривой.

27Какие направления называются главными направлениями в данной точке линии?

28Какая величина называется кручением кривой в точке M ?

29Сформулируйте определение нормальной плоскости.

30Сформулируйте определение спрямляющей плоскости.

31Сформулируйте определение подвижного триедра кривой.

32Запишите зависимость межу скоростью вращения биноминали в каждой точке кривой и кручением в этой точке.

33Чему равно кручение плоской кривой?

34Запишите формулы Френе-Серре.

35Запишите натуральные уравнения пространственной кривой.

335

Глава 14 Аналитическое изображение поверхностей и их образование

14.1 Способы аналитического изображения поверхностей

Поверхность относительно декартовой системы координат может быть

между декартовыми (прямоугольными) координатами произвольной ее точки. Уравнение (14.1) может быть дано в форме, разрешенной относительно одной из координат

соответствующим уравнением вида (14.1), называется алгебраической; в этом случае степень ее левой части, приведенной к целому рациональному виду, называется порядком поверхности. Порядок поверхности указывает на число

Поверхности неалгебраические называются трансцендентными.

Любую поверхность можно определить и уравнениями в параметрической форме, задавая декартовы координаты произвольной ее точки

такой способ задания поверхности равносилен ее заданию уравнением (14.1). В самом деле, пусть дано уравнение (14.1), если принять x и y соответственно

равными двум любым функциям x(u, v) и y(u, v) каких-либо параметров u и v ,

то уравнение (14.1) определит z как функцию тех же параметров, и поверхность изобразится уравнениями вида (14.4).

Наоборот, когда даны уравнения (14.4), то, исключая из них параметры u и v придем, вообще говоря, к одному соотношению между x , y , z вида (14.1).

Предыдущее рассуждение показывает, что для данной поверхности можно получить бесчисленное множество изображений уравнениями (14.4) в параметрической форме. Если одна и та же поверхность изображается уравнением

должны удовлетворять тождественно (при всяких значениях u и v ) соотношению

F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))≡ 0 .

Когда поверхность определена уравнениями (14.4), то можно считать, что

336

точка поверхности определяется связанным вектором OM = ρ , причем

ρ = ix(u, v) + jy(u, v) + kz(u, v) ,

где вектор ρ есть функция двух скалярных параметров u и v .

Если в уравнении (14.5) одному из параметров, например u , дать какоелибо определенное значение u = c1 , то вектор ρ , оставаясь зависящим от одного

параметра v , опишет своим концом некоторую линию на поверхности; эту линию (вдоль которой меняется v ) можем для краткости называть линией u = c1 . Меняя

значение c1 получим на поверхности различные линии семейства u = const ;

аналогичным образом получим второе семейство линий v = const .

Отдельная точка на поверхности будет отмечена, когда задано значение параметра u и значение параметра v . Эта точка может быть рассматриваема как пересечение некоторой линии семейства u = const с некоторой линией семейства v = const . Поэтому параметры u и v называются координатами точек на данной поверхности («криволинейные» или «гауссовы координаты»). Линии же семейства u = const и v = const называются координатными линиями на поверхности.

Когда даются параметрические уравнения поверхности (14.4) или (14.5), то это значит, что на поверхности выбрана определенная сеть двух координатных семейств линий. Какая-либо линия на данной поверхности получится, если к

функциями некоторого третьего переменного. Для линии v = const вектор

ддρu = ρ1

будет определять направление касательной к этой линии; равным образом вектор

ддρv = ρ2

будет определять направление касательной к линии u = const .