Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

X называют точками.

Таким образом, заменяя шары в определении непрерывного отображения окрестностями, получаем понятие непрерывного отображения, а затем и понятие гомеоморфизма топологических пространств. Гомеоморфные топологические пространства называются топологически эквивалентными.

шаровые окрестности точек z C окрестности точки ∞ вида

Dr (∞)={z C : z > r}U∞,

~

а также подмножества, содержащие их, задают топологическую структуру на C . В метрическом пространстве топологическая структура фактормножества возникает естественным образом из топологической структуры метрического пространства путем склеивания окрестностей. Таким образом, фактормножество

становится топологическим пространством (факторпространством).

3 Склейка двумерных поверхностей. Изучим подробнее факторпространства, получающиеся при склейке плоских фигур. Рассмотрим

многоугольник Π в плоскости R2 и индуцируем в нем метрику из R2 . Очевидно, шаровые окрестности точки x Π состоят из пересечений с Π открытых кругов с центром в точке x . Таким образом, достаточно малые шаровые окрестности точки x - открытые круги, если x не лежит на границе многоугольника, и секторы открытого круга (вместе с ограничивающими радиусами), если x лежит на границе (рисунок 123).

иллюстрирует случай, когда отождествление выполняется соединением многоугольников по равным сторонам a , a′.

359

1)вырезать в сфере p кружков и приклеить к ним p ручек;

2)вырезать q кружков и приклеить q листов Мёбиуса. Таким образом

можно получить два ряда поверхностей

(очевидно, M 0 и N0 - это сфера S 2 ).

Обсудим свойства этих поверхностей. Прежде всего легко убедиться, что они получены из конечного числа выпуклых многоугольников склейкой их сторон и последующих топологических преобразований. Такие пространства будем называть конечно-триангулируемыми, а разбиение пространства на «криволинейные» многоугольники - триангуляцией. Поверхности M p , Nq

связаны в том смысле, что состоят из единого «куска», не разбиваются на две непересекающиеся группы многоугольников. Это следует из того, что любые две вершины многоугольников триангуляции соединяет непрерывный путь, состоящий из сторон. Рассматриваемые поверхности не имеют края, так как любая граничная сторона многоугольника склеена с другой (в точности с одной) стороной. Отсюда следует, что каждая точка такой поверхности имеет окрестность, гомеоморфную открытому кругу. Такие пространства называются

двумерными многообразиями.

Конечно-триангулируемые связные двумерные многообразия называются замкнутыми поверхностями. Если бы мы клеили не все пары сторон многоугольников, оставив некоторые стороны свободными, то получилась бы

незамкнутая поверхность (или поверхность с краем). Точка на крае имеет

допускают!).

Топологическое пространство, гомеоморфное выпуклому многоугольнику, будем называть топологическим многоугольником. Соответственно образы вершин (сторон) назовем вершинами (ребрами) топологического многоугольника. Без ограничения общности можно считать, что триангуляция поверхности состоит из топологических многоугольников, примыкающих друг к другу ребрами (чтобы этого добиться, нужно выпуклые многоугольники, отождествлением сторон которых получается поверхность, предварительно разбить на достаточно мелкие многоугольники, например треугольники).

многоугольников триангуляции, называемое характеристикой Эйлера поверхности Π. Она обладает замечательным свойством – не зависит от триангуляции, т.е. является топологическим инвариантом поверхности.

Нетрудно доказать топологическую инвариантность характеристики

363

Эйлера χ(S 2 ) для сферы S 2 , если воспользоваться теоремой Жордана*, которая утверждает: всякая простая замкнутая кривая, т.е. кривая гомеоморфная окружности, разбивает сферу или плоскость на две непересекающиеся области,

границей которых она является.

Интересные приложения эйлерова характеристика имеет в теории выпуклых многогранников. Можно представлять поверхность выпуклого многогранника склеенной из конечного числа выпуклых многоугольников (его граней) по тождественным отображениям склеивающихся ребер. Сразу получаем формулу Эйлера для выпуклого многогранника:

α0 −α1 +α2 = 2 ,

где α0 - число вершин, α1 - число ребер, α2 - число граней многогранника. Действительно, слева - эйлерова характеристика поверхности многогранника,

очевидно, гомеоморфной S 2 .

Если в каждой вершине сходятся m граней и каждая грань - выпуклый n - угольник, то говорят, что тип многогранника {n, m}.

Рисунок 136

Если n -угольники правильные, то многогранник называется правильным. Зная тип {n, m}, можно вычислить α0 , α1 , α2 . Действительно, в каждой вершине

откуда вычисляются значения α0 , α1 , α2 . Естественное условие положительности α0 , α1 , α2 приводит к неравенству между целыми положительными n , m :

многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (рисунок 136), типы

* Доказательство теоремы Жордана достаточно длинно, и мы его не приводим.

364

которых как раз совпадают с (15.6).

Таким образом, дана полная классификация многогранников типа {n, m}.

15.4 Понятие римановой поверхности

Один из путей, приводящих к основным топологическим понятиям, связан с изучением алгебраических функций и их интегралов; он был открыт Риманом еще в середине прошлого столетия.

Рассмотрим алгебраическое уравнение

с комплексными коэффициентами, являющимися полиномами от комплексного переменного z , его корни будут функциями w = w(z) от z , при некоторых условиях – аналитическими. Например, если в точке z0 все корни уравнения (15.7) различны, то в окрестности точки z0 существуют n функций wi (z) , i =1,..., n , аналитически зависящих от z .

Аналитическая функция w = w(z), удовлетворяющая уравнению (15.7), называется алгебраической функцией. Уравнение (15.7) определяет несколько ветвей wi (z) алгебраических функций, число которых, вообще говоря, меняется и

которые переходят друг в друга при изменении z . Поэтому говорят о многозначной алгебраической функции w(z) , определяемой уравнением (15.7), и

о ее ветвях wi (z) . Риман выдвинул идею замены z -плоскости С такой поверхностью, на которой функция w(z) будет однозначной, а ее ветви wi (z) будут значениями w(z) на отдельных участках поверхности. Такие поверхности

окрестностей (и все содержащие их множества). Тогда алгебраическое уравнение

(15.7) определяет в С~ ×С~ подмножество – график многозначной алгебраической функции w(z) над комплексной плоскостью С, состоящий из тех пар

( ) ~ × ~ , удовлетворяют уравнению (15.7). Это и есть риманова поверхность z, w С С

определяет однозначную функцию на римановой поверхности, принимающую значения всех ветвей многозначной функции. Интересен вопрос о строении поверхности Π и о распределении на ней ветвей функции w. Для изучения таких вопросов полезно расширять график Π, присоединяя к Π некоторые «бесконечно

удаленные» точки из С~ ×С~ . Полученное таким образом расширение Π

365

множества Π называют полной римановой поверхностью.

Простейшая многозначная алгебраическая функция связана с уравнением

Замена переменных v = 2w + a1 , приводит это уравнение к более простому виду

собратным отображением t = (w2 , w) задает, как нетрудно проверить,

гомеоморфизм Π~ 1 , на w-сферу S 2 . Дадим другую конструкцию римановой

поверхности, используемую обычно в теории функций комплексного переменного. Уравнение (15.10) определяет двузначную алгебраическую

замкнутому пути, обходящему точку z = 0 . Чтобы предупредить переход ветви w1 в ветвь w2 , проведем разрез на z -сфере вдоль положительной вещественной полуоси (рисунок 137).

Рисунок 137

Этот разрез соединит точки 0 и ∞. К разрезу примыкают два края (берега): ( + ) – верхний, (—) – нижний. Рассмотрим объединение (непересекающееся) двух листов (экземпляров), I и II, разрезанной z -сферы. Объявим лист I носителем ветви w1, II – ветви w2 (полагая wi = ∞ при z = ∞ на каждом листе I, II). На

двулистной поверхности I, II функция w однозначна. Чтобы уловить эффект перехода ветви w1 в ветвь w2 склеим (—) берег I листа с (+) берегом II листа и (+)

берег I листа с (—) берегом II листа. Получим факторпространство Π1′ ,

366

являющееся двулистной римановой поверхностью функции w = z . Нетрудно усмотреть, что Π1′ гомеоморфно сфере S 2 . На рисунке 138 показана склейка листов I и II после предварительного топологического преобразования их в полусферу путем раздвигания берегов, приводящая к сфере S 2 .

Рисунок 138

Хотя Π1′ и не лежит в R3 (листы I и II пронизывают друг друга, см. схему склейки, рисунок 139), однако наглядно демонстрируется взаимосвязь ветвей w1 и w2 .

Рисунок 139

Имеем диаграммы:

Эти диаграммы коммутативны, т. е. суперпозиция двух отображений (в направлении стрелок) равна третьему отображению (замыкающая стрелка). Горизонтальные отображения в диаграммах - взаимно обратные гомеоморфизмы.

367

Очевидно, она также двузначна. Исследование, аналогичное проведенному выше, показывает, что одна ветвь переходит в другую как при обходе точки r1, так и при

обходе точки r2 , а обход обеих точек (по замкнутому пути, окружающему точки r1 и r2 ), как и точки ∞, не меняет значение ветви. Следовательно, риманова поверхность Π′2 рассматриваемой функции получится из двух экземпляров z -

сферы, разрезанных вдоль отрезка r1r2 , причем берега листов I и II склеиваются так же, как и в первом примере. Заметим, что Π′2 содержит две бесконечно удаленных точки, ∞1 и ∞2 , лежащие на листах I и II и не являющиеся точками ветвления. Очевидно, что пространство по-прежнему топологически

и преобразует уравнение (15.12) к уравнению ν2 − τ = 0 , риманову поверхность Π1 которого мы рассмотрели выше. Однако, если расширение Π~ 1 было получено естественно и просто, то расширение Π~ 2 осуществить более сложно, и мы его не рассматриваем. Однако выше построен его гомеоморфный образ Π′2 .

Таким образом, имеем коммутативную диаграмму

368