Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

В базисе a линейное подпространство описывается однородной системой из двух уравнений x3′ = 0 , x4′ = 0 , которая в матричной форме имеет вид:

неоднозначно: достаточно систему линейных уравнений заменить любой эквивалентной системой, чтобы получить другие общие уравнения того же линейного подпространства. В рассмотренном примере ответ зависит от того, какими векторами a3 и a4 мы дополняем систему a1 , a2 до базиса.

Например, если положить

[a3 ]e = (0, 0, −1, −1)T , [a4 ]e = (0, 0, −1, 1)T ,

то, повторив все вычисления, получим уже другую систему линейных уравнений, описывающую заданное линейное подпространство L в базисе e , именно:

x1 − 12 x3 − 12 x4 = 0,

x2 − 1 x3 + 1 x4 = 0.

2 2

Если подпространство задано общими уравнениями, то для построения

базиса этого подпространства следует построить фундаментальную систему решений для общих уравнений подпространства.

239

которое называют параметрическим уравнением подпространства L в векторной форме.

Пусть векторы a1, a2 , ..., ak заданы своими координатами в некотором базисе пространства V :

Систему (9.21) называют параметрическими уравнениями подпространства L в координатной форме.

Если из параметрических уравнений (9.21) подпространства L исключить параметры t1, t2 , ..., tk , получим общие уравнения подпространства L. Таким

образом, мы пришли еще к одному способу получения общих уравнений подпространства.

зададим параметрическими уравнениями в векторной и координатной формах, а также общими уравнениями.

Решение: Векторное уравнение (9.20) в данном случае имеет вид:

Переходя к координатам, получаем координатную форму, параметрических уравнений:

x1 = t1 + t2 ,x2 = t1 − t2 ,x3 = 2t1,

x4 = 2t2 .

240

Исключив параметры t1 и t2 , получим общие уравнения подпространства

L:

2x1 − x3 − x4 = 0,2x2 − x3 + x4 = 0.

9.9 Пересечение подпространств. Сумма подпространств

Пусть в линейном пространстве V даны подпространства L1 и L2 . Множество L1 ∩ L2 векторов, принадлежащих как L1 , так и L2 , является подпространством в V . Его называют пересечением подпространств L1 и L2 .

Множество всех векторов х вида x = a + b , где a L1, b L2 , называют суммой подпространств L1 и L2 и обозначают через L1 + L2 . Если при этом пересечение L1 ∩ L2 – нулевое подпространство, то сумму L1 + L2 называют прямой суммой и обозначают через L1 L2 .

Теорема 9.19 Сумма подпространств является подпространством.

Доказательство. Пусть x = a + b , y = c + d , где a, c L1 , b, d L2 . Тогда

x + y = (a + c) + (b + d ) L1 + L2 ,

поскольку

Таким образом, доказано, что сумма подпространств является подпространством.

Понятия пересечения и суммы подпространств распространяются на любое число подпространств.

Теорема 9.20 Если сумма подпространств L1 и L2 в V является прямой,

241

Решение. Векторы a1 и a2 линейно независимы и поэтому составляют базис в подпространстве L1 . Дополним систему векторов a1 , a2 до базиса во всем

следует выделить какую-либо максимальную линейно независимую подсистему системы векторов

a1, a2 , ..., ak , b1, b2 , ..., bl .

Для этого достаточно составить матрицу из координатных столбцов этих векторов и в этой матрице выделить какой-либо базисный минор. Векторы, на координатных столбцах которых находится базисный минор, образуют базис в подпространстве L1 + L2 . Отметим, что базисный минор можно выбирать не в

исходной, а преобразованной матрице (после выполнения последовательности элементарных преобразований строк).

Проводя элементарные преобразования строк матрицы, приведем ее к ступенчатому виду:

242

Видим, что ранг матрицы равен четырем, а один из ее базисных миноров располагается на векторах a1, a2 , a3 , b1. Следовательно, эти векторы составляют

базис суммы L1 + L2 .

Если пространства L1 и L2 заданы однородными системами уравнений, то пересечение L1 ∩ L2 будет определяться системой, включаемую все уравнения

двух систем. Любая фундаментальная система решений такой системы уравнений дает базис пересечения L1 ∩ L2 .

Например, найдем базис пересечения подпространства L1 , заданного системой уравнений

x1 − x3 + x5 = 0,x2 − x4 + x6 = 0,x1 − x2 + x5 − x6 = 0,

и подпространства L2 , заданного системой уравнений

x2 − x − 3 + x6 = 0,x1 − x4 + x5 = 0.

Решение. Составим систему уравнений, состоящую из всех уравнений систем подпространств L1 и L2

и найдем ее общее решение

x = (x4 − x5 , x4 − x6 , x4 , x4 , x5 , x6 )T .

Здесь три свободных неизвестных: x4 , x5 , x6 . Поэтому каждая

фундаментальная система решений этой системы состоит из трех решений. Одну из фундаментальных систем решений составляют столбцы

243

Они и представляют собой один из базисов подпространства L1 ∩ L2 . Если подпространства L1 и L2 заданы как линейные оболочки систем

векторов

L1 = a1, a2 , ..., ak , L2 = b1, b2 , ..., bl ,

то при построении базиса пересечения L1 ∩ L2 этих подпространств достаточно

перейти к описанию этих подпространств общими уравнениями, а затем действовать, как в последнем примере: объединяя две однородные системы в одну, искать фундаментальную систему решений объединенной системы.

Существуют и другие способы построения базиса пересечения. Например, можно составить векторное уравнение

покоординатных уравнений. Это линейная однородная система. Построив фундаментальную систему решений этой системы, для каждого решения из ФСР вычислим, например, левую часть векторного уравнения. Получим систему векторов, порождающую линейное пространство L1 ∩ L2 . Теперь базис в L1 ∩ L2

можно построить, выделив в этой системе максимальную линейно независимую подсистему. Отметим, что если система векторов a1, a2 , ..., ak линейно

независима, то и построенная, как описано выше, система векторов, порождающая L1 ∩ L2 , будет линейно независимой. В этом случае дополнительно

выделять максимальную линейно независимую подсистему не нужно.

В заключение примем без доказательства теорему о размерности суммы линейных пространств.

Теорема 9.21 В конечномерном линейном пространстве V размерность суммы L1 + L2 подпространств L1 и L2 равна сумме размерностей этих

подпространств минус размерность их пересечения, т.е. dim(L1 + L2 )= dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2 ).

244

9.10 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение линейного пространства.

2Сформулируйте и докажите теорему о единственности нулевого элемента в линейном пространстве.

3Сформулируйте и докажите теорему о существовании единственного противоположного элемента линейного пространства.

4Докажите верность тождества 0x =θ для любого элемента линейного пространства.

5Докажите верность тождества −1 x = −x , для любого элемента линейного пространства.

6Докажите справедливость равенства αθ =θ .

7 Докажите, что если αx = 0 и α ≠ 0 , то x =θ .

8Докажите, что если αx = 0 , x =θ , то α = 0.

9Какое линейное пространство называется n -мерным? Как обозначается размерность пространства Vn ?

10Какое линейное пространство называется конечномерным? Приведите примеры конечномерных пространств.

11Какое линейное пространство называется бесконечномерным? Приведите примеры бесконечномерных пространств.

12Дайте определение базиса n -мерного линейного пространства. Приведите примеры базиса какого-нибудь линейного пространства.

13Сколько базисов может иметь линейное n -мерное пространство?

14Что означает разложение вектора x по базису?

15Сформулируйте и докажите теорему о единственности разложения любого вектора x пространства Vn по заданному базису.

16Какая матрица называется матрицей системы векторов в данном

базисе?

17Какая матрица называется матрицей перехода от базиса e1, e2 , ..., en к

базису e1′, e2′ , ..., en′ ?

18Выведите формулу (e1′, e2′ , ..., en′ )= (e1, e2 , ..., en )T T и объясните ее.

19Какую матрицу можно рассматривать как матрицу перехода от базиса к базису в n -мерном пространстве?

20Какие формулы называются формулами преобразования координат?

21Сформулируйте и докажите теорему о преобразовании координат?

22Какие два линейных пространства называются изоморфными?

23 Что означает понятия «образ», «прообраз», если V ~ U и x ↔ y , где x V , а y U .

24В каком случае два линейных пространства изоморфны?

25Сформулируйте и докажите утверждение о соответствии базисов изоморфных пространств.

26Сформулируйте определение подпространства линейного пространства.

245

27Какие подпространства заданного линейного пространства называются тривиальными?

28Приведите примеры нетривиальных подпространств линейных пространств.

29Расскажите о линейной зависимости (независимости) векторов.

30Сформулируйте и докажите основную теорему о линейной зависимости

векторов.

31Какие две системы векторов называются эквивалентными?

32Сформулируйте определение линейной оболочки системы векторов.

33Сформулируйте и докажите теорему о дополнении базиса подпространства до базиса всего n -мерного пространства.

34Сформулируйте и докажите теорему о том, что для любого линейного

подпространства L существует система линейных уравнений AX = 0 , в которой L - множество решений.

35 Какую систему линейных уравнений называют общими уравнениями подпространства?

36Что необходимо сделать для построения базиса подпространства, если последнее задано общими уравнениями?

37Какое уравнение называют параметрическим уравнением подпространства L в векторной форме?

38Напишите параметрические уравнения подпространства в координатной форме.

39Дайте определение пересечения подпространства L1 и L2 .

40Дайте определение суммы подпространства L1 и L2 .

41Какая сумма подпространств является прямой (обозначение)?

42Докажите утверждение о том, что сумма подпространств является подпространством.

43Какие подпространства L1 и L2 называются прямыми дополнениями

друг друга?

44Как найти какой-либо базис в подпространстве L1 + L2 ?

45Как найти какой-либо базис L1 ∩ L2 ?

246

Глава 10 Евклидово и унитарное пространство

10.1 Определение евклидовых пространств

В линейном пространстве V кроме операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число введем еще одну операцию скалярное умножение векторов. Каждой упорядоченной паре векторов x, y V поставим в соответствие действительное число, которое назовем их скалярным

квадратом этого вектора и обозначается x2 , т.е.

(x,x)= x2 .

Евклидовым пространством называется линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов,

удовлетворяющая аксиомам I – IV. Если n -мерное линейное пространство является евклидовым, будем называть его евклидовым n -мерным пространством, а базис этого линейного пространства – базисом евклидова пространства.

(*) является скалярным произведением. Следовательно, пространство Rn с введенной операцией (*) скалярного умножения есть евклидово пространство.

3) В линейном пространстве Rn×1 каждой паре матриц

X =[x1 x2 ...xn ]T ; Y =[y1 y2 ... yn ]T

поставим в соответствие число

247

Выражение (**) является скалярным произведением, так как аксиомы I – IV выполнены. Следовательно, пространство Rn×1 с введенной операцией скалярного умножения есть евклидово пространство.

Поставим для себя следующий вопрос: можно ли в линейном пространстве матриц H22 , определенном над полем K , ввести скалярное произведение по формуле

(10.3) определяет в пространстве Vn скалярное умножение.

В n -мерном линейном пространстве скалярное умножение можно задать, вообще говоря, многими различными способами. Очевидно, что (10.3) зависит от выбора базиса. Возникает вопрос – нельзя ли ввести скалярное умножение какимлибо принципиально иным способом? Нашей ближайшей целью является обозрение всех возможных способов превращения n -мерного линейного пространства в евклидово пространство и установление того, что в некотором смысле для всякого n существует одно единственное n -мерное евклидово пространство.

248