Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

топологическими. В данном примере очевидно такое топологическое свойство сферы, как ее целостность (связность). Более глубокие свойства обнаружатся при попытке установить гомеоморфизм сферы, например, с кругом (или с шаром). Легко прийти к убеждению, что такой гомеоморфизм невозможен. Однако чтобы доказать это, необходимо указать различные топологические свойства для сферы и круга (шара). Такими свойствами являются «стягиваемость» круга (шара) в одну из своих точек посредством «плавного» его изменения, сжатия по радиусам к центру и «нестягиваемость» сферы по себе ни к одной из своих точек. Полезно обратить внимание и на топологическое различие между волейбольной и велосипедной камерами. Эти интуитивные представления нуждаются в строгом обосновании.

Исследования Пуанкаре дали начало одному из направлений в топологии –

комбинаторной, или алгебраической топологии. Ее метод заключается в сопоставлении геометрическим фигурам по некоторому, общему для всех фигур, правилу алгебраических объектов (групп, колец и т. п.) так, что определенным отношениям между фигурами соответствуют алгебраические отношения между объектами. Изучение свойств алгебраических объектов проливает свет на свойства геометрических фигур. Алгебраические объекты, построенные А. Пуанкаре, суть группы гомологии и фундаментальная группа.

Развитие метода алгебраической топологии неизбежно привело к объединению с теоретико-множественными идеями. Действительно, исследование качественных свойств множеств в пространствах любого числа измерений в дальнейшем вылилось в понятие топологического пространства – фундаментальное понятие, пронизывающее всю математику. Оно связано не только с рассмотрением геометрических фигур в конечномерных пространствах: развитие теории функции действительного переменного и функционального анализа привело к построению функциональных пространств, которые, как правило, бесконечномерны.

Топологические пространства и их непрерывные отображения, изучение их общих свойств составили содержание одного из разделов топологии, известного под названием «общая топология».

Приведем некоторые задачи, стимулировавшие топологические исследования.

Если S1 – окружность на евклидовой плоскости R2 , то множество R2 \ S1

распадается на два взаимно дополнительных открытых множества: внутренность A и внешность B по отношению к S1 . Окружность S1 играет роль перегородки

между A и B . Можно ли провести непрерывный простой путь из произвольной точки a A в произвольную точку b B так, чтобы он не пересекал перегородку

S1 (Простым непрерывным путем, называют гомоморфное отображение отрезка [0, 1] числовой оси в плоскость.) Ответ отрицателен. Действительно, если

349

свойству непрерывных функций f (t) принимает значение r в некоторой точке t0 ,

следовательно, γ(t0 ) S1 .

Заменим теперь окружность S1 ее гомеоморфным образом Γ (такая кривая называется простои замкнутой). Возникает вопрос: разбивается ли множество

R2 \ Γ на непересекающиеся открытые множества, границей каждого из которых является Γ? Ответ утвердительный (теорема Жордана), но доказательство уже использует тонкие топологические понятия. При этом кривая Γ так же, как и S1

обладает свойством перегородки, разделяющей два открытых множества.

Задача еще более усложнится, если вместо простой замкнутой кривой рассмотреть гомеоморфный образ n -мерной сферы, лежащий в (n +1)-мерном евклидовом пространстве. Обобщение теоремы Жордана на этот случай было дано Л. Э. Брауэром в 1911—1913 гг. Глубокое обобщение этого результата привело к созданию теорем двойственности (Дж. У. Александер, Л. С. Понтрягин, П. С. Александров и др.,) долгое время определявших развитие алгебраической топологии.

Другая важная задача – обобщение понятия размерности. Размерность евклидова пространства хорошо известна как алгебраическое понятие. Является ли оно топологическим свойством, т. е. будут ли гомеоморфные евклидовы пространства иметь одинаковую размерность? Положительный ответ был дан А. Лебегом (1911).

Что же касается геометрических фигур, лежащих в евклидовых пространствах, то следует первоначально сформулировать для них понятие размерности. Идея такого определения была высказана еще А. Пуанкаре. Размерность пустого множества полагается равной −1, и далее по индукции: если мы уже знаем, что такое размерность до n −1, то размерность n некоторого множества A ( dim A = n ) означает, что его можно разбить на сколь угодно мелкие части множеством размерности n −1 и нельзя этого сделать множеством размерности n − 2. Эти идеи получили уточнение и развитие в работах Л. Э. Брауэра, К. Менгера, П. С. Урысона, П. С. Александрова и др.

Еще одно важное направление в топологии, тесно связанное с приложениями, - теория неподвижных точек. Уже в алгебре и началах анализа мы

где f (x) – многочлен или более сложная функция. Уравнение (15.1) эквивалентно

Решения уравнения (15.3) называются неподвижными точками отображения F . Если уравнение (15.1) векторное, т. е. представляет собой систему из n уравнений с n неизвестными, n >1, то эквивалентное уравнение (15.3) тоже векторное и, следовательно, неподвижные точки лежат в многомерном

евклидовом пространстве Rn .

350

Чрезвычайно важной задачей является отыскание достаточно общих и эффективных признаков существования неподвижных точек. Л. Э. Брауэром получен замечательный результат, находящий широчайшие приложения в современных исследованиях. Он формулируется удивительно просто: всякое непрерывное отображение выпуклого ограниченного замкнутого множества в себя имеет неподвижную точку. Выпуклое множество может рассматриваться как в трехмерном, так и в многомерном евклидовом пространстве. Например, непрерывное отображение в себя замкнутого (т. е. рассматриваемого вместе с границей) круга в плоскости или шара в пространстве обязательно имеет неподвижную точку.

Подчеркнем, что задачи, описанные выше, далеко не составляют всей проблематики топологии. Приведем другие примеры. В работах Б. Римана впервые было введено понятие n -мерного многообразия как пространства, в

котором точки обладают n числовыми координатами, определенными, по крайней мере, на достаточно малых участках пространства. В современной математике различают топологические и гладкие многообразия. Это связано с теми или иными возможностями согласования систем координат, заданных на отдельных участках многообразия. Участки многообразия могут пересекаться, и пересечения получают, таким образом, различные системы координат, при этом каждая система координат может быть выражена через другую, непрерывным или гладким (дифференцируемым) преобразованием. В первом случае многообразие называют топологическим, во втором – гладким.

Являясь обобщением понятия поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, понятие многообразия охватило целый ряд геометрических объектов, возникавших в классической механике, дифференциальных уравнениях, теории поверхностей. Пуанкаре придал окончательную форму понятию многообразия и развил начала анализа на таких пространствах.

Накопление различных алгебраических объектов в топологии привело к выделению и развитию «гомологической алгебры». В 30-40-е годы нашего столетия возникла из дифференциальной геометрии и развилась в самостоятельное направление теория расслоенных пространств (расслоений).

Расслоенное пространство можно представить как непрерывную совокупность пространств – слоев, гомеоморфных друг другу и «занумерованных» точками другого пространства – базы расслоения. Простейший пример – совокупность нормалей или касательных плоскостей к двумерной поверхности в евклидовом пространстве (базе расслоения). Однако в общем случае и слои, и база расслоения могут быть устроены значительно сложнее.

В частности, развитие топологии привело к решению ряда стоявших перед топологами крупных проблем: создание Ж. Лере фундаментального алгебраического метода вычисления гомологических групп с помощью спектральной последовательности; полное решение М. М. Постниковым проблемы определения гомотопического типа пространств; исследование числа «гладких структур» на данном топологическом многообразии (т. е. способов превратить его в гладкое многообразие. Исследована проблема триангуляции гладких многообразий, т. е. возможности их разбиения на правильно

351

примыкающие симплексы. Фигуры, составленные из симплексов (так называемые полиэдры), рассматривал, еще А. Пуанкаре при построении теории гомологии. Поясним, симплекс – это выпуклая оболочка линейно независимых точек в евклидовом пространстве или ее гомеоморфный образ; указанные точки называются вершинами симплекса, а уменьшенное на единицу их число – размерностью симплекса. Всякое подмножество вершин симплекса также определяет симплекс – грань исходного симплекса; правильное примыкание симплексов в полиэдре означает, что симплексы могут пересекаться только по их обшей грани. Один из принципиальных вопросов классической топологии: допускают ли два гомеоморфных полиэдра размерности n «одинаковые», с комбинаторной точки зрения, триангуляции? Эта, так называемая, «основная проблема комбинаторной топологии» была решена для размерности n < 3. Б. Е. Мойсом, а для старших размерностей она решается, вообще говоря, отрицательно (случай n = 4 удалось исследовать лишь в 80-е годы – М. Фридман, С. Дональдсон); С. П. Новиков, Р. Керби, Л. Зибенман исследовали возможное число неэквивалентных триангуляции многообразия.

Подробности развития топологии читатель может найти в цитировавшейся выше «Истории отечественной математики» (см. список использованных источников).

К настоящему времени топология стала мощным инструментом математического исследования, а ее язык приобрел универсальное значение.

Замечательным фактом является возникновение в 70-80-е годы XX века комплекса приложений топологии в современной физике – факт, значимый не только для физики, но и для самой топологии. «В ряде случаев без топологических понятий оказалось невозможным понять суть реальных физических явлений... Топология нашла себе ряд блестящих применений в самых разнообразных задачах для описания качественных, устойчивых свойств различных математических и физических объектов...»

Естественно отметить и обратное – влияние физических проблем на развитие топологии. Академик С. П. Новиков, энергично пропагандирующий взаимосвязи топологии и физики и активно участвующий в развитии этого направления, выразил еще в 1997 году уверенность, что в «… XXI веке топология станет необходимым инструментом приложений к анализу, с которым должен быть знаком каждый».

15.2 Обобщение понятий пространства и функции

1. Метрическое пространство. Как уже говорилось, в топологии выработано существенно более широкое понятие пространства, чем евклидово. Вначале мы сделаем первый шаг и рассмотрим понятие метрического пространства (менее общее, чем понятие топологического пространства). Это вызвано как большей простотой, так и широким использованием этого понятия в современной математике.

В евклидовом пространстве R3 для каждой пары его точек x = (ξ1, ξ2 , ξ3 ),

352

y = (η1, η2 , η3 ) определено расстояние

ρ(x, y)= ∑n (ξi −ηi )2 1/ 2 .

i =1

При изучении R3 существенно используются следующие свойства расстояния:

I ρ(x, y)≥ 0 для любых x , y .

II ρ(x, y)= 0 тогда и только тогда, когда x = y .

III ρ(x, y)= ρ(y, x).

IV ρ(x, y)≤ ρ(x, z)+ ρ(z, y)для любых x, y, z R3 (неравенство треугольника).

На R3 могут существовать и другие вещественные функции от пары точек x , y , удовлетворяющие свойствам I – IV.

Такие функции могут существовать также и на множествах иной природы. Пример 2. Пусть X - произвольное множество. Положим ρ(x, y)= 0 , если

x и y - совпадающие элементы в X , и ρ(x, y)=1 в противном случае. Очевидно, что такая функция ρ также удовлетворяет свойствам I – IV.

Функции ρ из этих примеров естественно назвать расстояниями между элементами соответствующих множеств.

Чтобы ввести общее понятие расстояния, напомним определение произведения двух множеств. Если X и Y - два множества, то их произведением X ×Y называют множество, состоящее из всех упорядоченных пар (x, y), где

x X , y Y . В частности, определена произведение X × X .

удовлетворяющим свойствам I – IV, называется метрическим пространством и обозначается (X , ρ).

Отображение ρ называют расстоянием или метрикой пространства X . Элементы множества X называют обычно точками.

Всякое множество можно превратить в метрическое пространство, наделив его метрикой, описанной в примере 2. Такое метрическое пространство называется дискретным. Однако такой способ «метризации» малосодержателен.

Например, пусть X R3 – подмножество евклидова пространства. Расстояние в R3 в то же время может служить расстоянием в X . Метрика в X

получается в этом случае сужением метрики в R3 .

Если (X , ρ) - метрическое пространство и Y X – подмножество, то

353

метрикой из X , а Y называют подпространством метрического пространства

X .

Ряд примеров метрических пространств естественно возникает в задачах анализа.

Например, рассмотрим множество всех непрерывных функций на отрезке [0, 1]. Его обычно обозначают C[0, 1]. Если x(t), y(t) - две непрерывные функции

Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что функция (15.4) является метрической.

Множество C[0, 1] с описанной выше метрикой называется пространством непрерывных функций; оно играет важную роль в анализе.

2. Сходящиеся последовательности и непрерывные отображения. В

метрическом пространстве (X , ρ) естественно вводятся понятия, обобщающие

354

Если свойство непрерывности, выраженное этим определением, рассмотреть в фиксированной точке x0 , то получим определение непрерывного

отображения в точке x0 .

Очевидно, что это определение является обобщением понятия непрерывной числовой функции; оно охватывает широкий класс отображений геометрических фигур в евклидовых пространствах.

Эквивалентное определение непрерывного отображения метрических

инъективно одновременно.

Теперь мы подошли к определению гомеоморфизма метрических

Это определение уточняет то представление о гомеоморфных фигурах, которое на интуитивном уровне обсуждалось в параграфе 15.1. Таким образом, получает твердую почву и понятие о топологических свойствах фигур.

Топологическими свойствами метрических пространств называются такие свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах.

Гомеоморфные метрические пространства называют топологически эквивалентными.

Если отображение f : X →Y является гомеоморфизмом на свой образ f (X ), рассматриваемый как подпространство в Y , то f называют вложением

пространства X в Y .

Если X Y , то имеется естественное вложение X в Y : f (x) = x .

15.3 От метрического пространства к топологическому

1 Метод «склейки». Обсудим идею введения более общего понятия пространства, чем метрическое, - понятия топологического пространства – и дадим первоначальное представление о таких пространствах. Сначала опишем прием построения новых пространств, который сразу выводит нас за рамки метрических пространств.

Пусть (X , ρ) - некоторое метрическое пространство (можно для

355

Если все точки из X , попадающие в какое-нибудь Aα , назвать эквивалентными и затем «склеить» в одну точку * aα , то получится новое

множество Y = Uaα . Оно называется фактормножеством по данной

α

эквивалентности. Заметим, что Y не является подмножеством X , следовательно, к «пространству» Y метрика ρ , вообще говоря, не имеет никакого отношения.

Путем склейки можно получить ряд известных поверхностей в евклидовом пространстве. Рассмотрим некоторые из них. Пусть X - прямоугольник (рисунок 115). Если «склеить» те точки на сторонах ab и cd , которые лежат на общей горизонтали, то получим фактормножество, которое можно отождествить с цилиндром (рисунок 116).

Если «склеить» точки, диаметрально противоположные относительно центра O прямоугольника, лежащие на сторонах ab и cd , то получим «лист Мёбиуса» (рисунок 117).

Можно изготовить модель листа Мёбиуса из листа бумаги, склеив противоположные стороны соответствующим образом. Эта модель наглядно демонстрирует ряд свойств листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса имеет ряд замечательных свойств: у него один край – замкнутая линия adbca , в противоположность цилиндру он имеет одну сторону, так как его можно закрасить непрерывным движением кисти в один цвет, не переходя через край (эти свойства легко наблюдать на бумажной модели). Лист Мёбиуса – неориентируемая поверхность. Напомним, что поверхность ориентируема, если любой достаточно малый кружок на поверхности с фиксированным направлением обхода его границы при любом «плавном» перемещении по поверхности в случае возвращения в исходное положение сохранит первоначальное направление обхода границы (предполагается, что кружок не пересекал край поверхности); в противном случае поверхность неориентируема. Неориентируемость листа Мёбиуса ясна из рисунка 118.

356

Таким образом, операция образования фактормножества в первых трех из рассмотренных случаев приводит снова к фигурам в евклидовом пространстве

R3 , а в последнем случае дает новый объект, не реализуемый в R3 .

2 О понятии топологического пространства. Поясним теперь, как возникает идея топологического пространства. Выше уже отмечалось, что всегда фактормножество естественным образом можно расположить в метрическом пространстве и, следовательно, индуцировать в нем метрику. Одна из функций метрики – характеризовать степень близости двух точек. В определении непрерывного отображения метрика играет именно такую роль. Можно

метрических пространств можно охарактеризовать следующим эквивалентным способом так: пусть x0 X – произвольная (фиксированная) точка и y0 = f (x0 ) –

элемент Y ; тогда для всякого шара Dε (y0 ) найдется такой шар Dδ (x0 ), что

f (Dδ (x0 )) Dε (y0 ).

Можно сказать, что свойство непрерывности отображения выражается в сохранении близости точек. Понятие близости позволяет точно сформулировать интуитивно данное нами понятие окрестности точки: часть Ω метрического пространства является окрестностью своей точки x0 , если каждая точка,

достаточно близкая к x0 , принадлежит Ω. Таким образом, в метрических

пространствах появляются структуры окрестностей.

«Однако так определенные пространства обладают большим числом свойств, которые можно сформулировать независимо от лежащего в их основе понятия расстояния. Например, каждое подмножество, содержащее окрестность точки x0 , также есть окрестность точки x0 ; пересечение двух окрестностей точки

является окрестностью точки x0 . Эти и некоторые другие свойства влекут массу

следствий, которые выводятся из них совершенно независимо от понятия «расстояние», первоначально легшего в основу определения окрестностей. Так получаются предложения, в которых совсем нет речи о величине, расстоянии и т.

п.»

Если в множестве X не введено расстояние, то понятие близости лишается точного смысла и данное выше определение окрестности непригодно. Однако плодотворным оказывается обратный процесс: для каждого элемента x0 X задать в множестве X некоторую систему подмножеств {Ω(x0 )} так,

чтобы выполнялись основные свойства (аксиомы), объявить их системой окрестностей и назвать элементы из окрестности Ω(x0 ) Ω-близкими к x0 .

Говорят в этом случае, что множество X наделено топологической структурой, или топологией, и называют его топологическим пространством, а элементы

358