Лекция № 15. Работа электрического поля при перемещении заряда.

На любой заряд, помещённый в электрическое поле, со стороны этого поля действует некоторая сила F=Е·q. Под действием этой силы при перемещении заряда электрическим полем совершается работа. Пусть однородное поле создаётся отрицательным зарядом, равномерно распределённым на бесконечной пластине, и положительный заряд q>0 перемещается из точки 1 в точку 2. Траектории изображены на рисунке 15.1. Вычислим сначала работу по перемещению заряда на участке 1 – 2 вдоль силовой линии. Из механики известно, если сила F не изменяется со временем, то работа вычисляется по формуле

, (15.1)

где угол α – это угол между вектором силы и вектором перемещения. В нашем случае сила F по абсолютной величине равна F=E·q₀, а S=d₁ – d₂, угол α=0, следовательно

(15.2)

Теперь найдём работу по перемещению заряда из точки 1 в 2 по произвольному пути, например по пути 1–3–2. Как видно из рисунка траекторию заряда можно представить как последовательность сколь угодно малых участков, часть которых проходит вдоль силовых линий поля, а часть – по нормали к ним, т.е. перпендикулярно силовым линиям.

На участках, расположенных перпендикулярно силовым линиям работа не совершается А=0 ( ). На участках расположенных вдоль силовых линий работа равна А=qE∆d. Суммируя работу по участкам, на которых заряд переносится вдоль линий поля, снова получим формулу (15.2). Следовательно, работа по перемещению заряда в однородном поле не зависит от траектории перемещения заряда и вычисляется по формуле (15.2).

Для неоднородного поля точечного заряда q, изображённого на рисунке 15.2, работа по перемещению пробного заряда q₀ вдоль силовых линий из точки 1 в точку 2 равна

. (15.3)

Работа по перемещению заряда q₀ вокруг заряда q по окружности равна нулю, так как направление силы перпендикулярно направлению перемещения. При произвольном движении заряда q₀ в поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 траекторию можно разбить на участки, где движение происходит либо вдоль радиуса, либо по окружности. При этом работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 по любому пути снова будет вычисляться по формуле (15.3). Поэтому можно сделать вывод, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути, а зависит только от расположения начальной и конечной точки пути. Если конечная и начальная точки перемещения заряда совпадают, то работа А=0, работа по перемещению заряда по замкнутой траектории произвольной формы всегда равна нулю.

Если работа, совершаемая полем над пробным зарядом, не зависит от формы пути и работа по замкнутому контуру равна нулю, то такое поле называют потенциальным. В школьном курсе физики изучают два типа потенциальных полей: поле силы тяжести Земли и электростатическое поле. Потенциальное поле можно описать, задав значение потенциальной энергии для пробного заряда в каждой точке поля и приняв по определению, что работа по перемещению заряда равна изменению потенциальной энергии заряда взятому со знаком минус

. (15.4)

У

• Какое электрическое поле называют однородным?

• Какие поля являются потенциальными?

• Что называют потенциалом электрического поля? В каких единицах он измеряется?

равнение (15.4) соответствует закону сохранения энергии. Действительно, если W₂<W₁, то А>0. Это означает, что электрическое поле само совершает работу и кинетическая энергия заряженного тела увеличивается за счёт уменьшения его потенциальной энергии. Если потенциальная энергия возрастает W₂>W₁, то А<0. Это означает, что кинетическая энергия заряженного тела уменьшается, так как оно движется против силы электрического поля и в этом случае над полем совершается работа.

Из сравнения уравнений (15.2) и (15.3) с уравнением (15.4) можно прийти к выводу, что потенциальная энергия заряженного тела для однородного поля равна

, (15.5)

а для поля точечного заряда

. (15.6)

Из уравнений (15.5) и (15.6) видно, что для любого поля как однородного, так и неоднородного потенциальная энергия пробного заряда q₀ прямо пропорциональна величине самого заряда W~q₀. Из этого следует, что отношение W/q₀ не зависит от помещённого в поле заряда и является числовой характеристикой электрического поля. Это число называют потенциалом и обозначают греческой буквой φ. Потенциал – это отношение потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле к величине самого заряда, зависящее только от тех зарядов, которые создают это поле. Единицей измерения потенциала является [φ]=Дж/Кл = В(вольт). Потенциал вычисляется по формуле

(15.7)

Для однородного электростатического поля потенциал равен

, (15.8)

а для поля точечного заряда

. (15.9)

Используя определение потенциала, можно записать потенциальную энергию пробного заряда в точках 1 и 2 как W₁= φ₁·q₀, а W₂= φ₂·q₀, тогда работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 запишется в виде:

. (15.10)

В уравнение (15.10) была введена новая величина U – напряжение или разность потенциалов. Она, так же как и потенциал измеряется в вольтах. Для однородного электрического поля

. (15.11)

Следует обратить внимание на то, что формула (15.10) содержит либо изменение потенциальной энергии, либо изменение потенциала. Поэтому потенциальная энергия и потенциал определяются с точностью до постоянной, которую можно добавить к этим величинам, не изменив их разности. Это позволяет определять начало отсчёта потенциальной энергии и потенциала произвольно. Если на бесконечности потенциал и потенциальную энергию принять за 0, то работа по перемещению пробного заряда из точки 1 на бесконечность (рис. 15.3) будет равна

(15.12)

Из уравнения (15.12) становится ясен физический смысл потенциала – это работа, которую нужно совершить, чтобы переместить единичный пробный заряд из данной точки на бесконечность

. (15.13)

И зменение потенциала в пространстве можно изображать, проводя эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности равного потенциала. Силовые линии, проходящие через каждую точку эквипотенциальной поверхности, направлены перпендикулярно к ней. На рисунке 15.4 эквипотенциальные поверхности изображены пунктирной линией: а) для однородного поля и б) для поля точечного заряда.