Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции 1 семестр 2007.doc
Скачиваний:
80
Добавлен:
22.11.2019
Размер:
2.17 Mб
Скачать

Идеальный газ.

В молекулярно кинетической теории при изучении поведения газа используют модель идеального газа. Согласно этой модели; 1) Молекулы имеют сферическую форму, собственный объём молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объёмом сосуда и расстояние между молекулами гораздо больше размеров самих молекул; 2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия; 3) столкновение молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Данная модель значительно упрощает рассмотрение процесса взаимодействия молекул. Она заменяет электромагнитный характер взаимодействия молекул механическим. Фактически молекулы ни когда не сближаются до полного соприкосновения друг с другом, так как между ними действуют силы электрического отталкивания. Однако механический подход к изучению взаимодействия молекул газа позволил в середине XIX в. Р. Ю. Клаузиусу получить основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Это уравнение выглядит следующим образом3

. (2.4)

В этом уравнении Е – кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа, заключённых в объёме V. Смысл уравнения (2.4) прост – давление газа прямо пропорционально кинетической энергии поступательного движения всех молекул единичного объёма. Вспоминая механику величину Е можно записать в виде

. (2.5)

Умножим и разделим уравнение (2.5) на число молекул N во всём объёме и учитывая, что выражение

(2.6)

называется квадратом средней квадратичной скорости, получим

. (2.7)

Подставим уравнение (2.7) в (2.4) и вспомнив, что число молекул в единице объёма n=N/V называют концентрацией получим

. (2.8)

Уравнение (2.8 – уравнение Клаузиуса) является современной записью основного уравнения молекулярно-кинетической теории. Оно справедливо только для идеального газа. Идеального газа в природе не существует, это просто воображаемая модель, но реальные газы при некоторых условиях по своим свойствам близки к идеальному газу. Для этого выполним количественные оценки для произвольного газа, находящегося в закрытом сосуде при нормальных условиях.

Определим расстояние между молекулами. Для начала вычислим число молекул в 1 м3. Это число называют концентрацией молекул. Хорошо известно, что 1 моль любого газа при нормальных условиях занимает один и тот же объём Vμ = 22,4 л, поэтому концентрация молекул равна

. (2.9)

Полученное число называется числом Лошмидта. Пусть все молекулы газа для данного момента времени равномерно распределены по всему объёму. Наше описание является статичным, молекулы неподвижны, оно напоминает мгновенный снимок. Разобьем 1 м3 на элементарные объёмы V0 так, чтобы в каждом элементарном объёме V0 находилась только одна молекула. Вычислим величину элементарного объёма. Для этого разделим весь объём (1 м3) на число молекул в этом объёме nл

. (2.10)

Так как молекулы распределены равномерно, то легко понять, что элементарный объём – это куб, в одной из вершин которого расположена молекула. Обозначим длину ребра куба, а значит и расстояние между молекулами, буквой а. Длина ребра равна

. (2.11)

Расстояние между молекулами оказывается больше размера самих молекул (10 -10 м) и больше радиуса действия межмолекулярных сил RМ (а > RМ10-9 м). Это означает, что при нормальных условиях молекулы газа не должны взаимодействовать друг с другом.

Таким образом, любой газ при нормальных условиях можно считать идеальным. Действительно молекулы газа можно принять за материальные точки, так как расстояние между молекулами в десятки раз больше размеров самих молекул. При этом молекулы не взаимодействуют друг с другом так, как расстояние между ними больше радиуса действия межмолекулярных сил.

Лекция № 3. Температура. Абсолютная шкала температур.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории позволяет вычислить скорости молекул газа при нормальных условиях, т.е. при 0°С и давление в 105 Па.

(3.1)

Вычислим скорости молекул водорода Н2 и кислорода О2. Молярные массы найдём по таблице Менделеева μ(Н2)=2·10-3 кг/моль, а μ(О2)=32·10-3 кг/моль.

(3.2)

(3.3)

Впервые эксперимент по определению скорости молекул поставил в 1920 г. Штерн. В дальнейшем предложенная им методика «молекулярного пучка» использовалась различными учеными, создавшими более совершенные установки. Ламмерт в 1929 г использовал прибор, изображённый на рисунке 3.1. Он состоит из толстостенного сосуда 1, к которому присоединяется «молекулярная печка» 2сосуд, в котором испаряется жидкий металл или газ. Пары проходят через систему диафрагм 3, в результате чего создается довольно узкий молекулярный пучок. Два диска 4 и 5 с узкими прорезями повернуты друг относительно друга на некоторый угол и приводятся во вращение мотором 6. Молекулярный пучок, пройдя через прорези обоих дисков, попадает в ловушку 7, охлаждаемую жидким азотом. Молекулы осаждаются на стеклянной мишени 8, образуя на ней видимый осадок. В установке с помощью насоса 9 поддерживается высокий вакуум, чтобы избежать столкновений молекул испаряемого вещества с молекулами воздуха. При неподвижных дисках молекулярный пучок на мишень не попадет. Если диски привести во вращение, то молекулы, обладающие определенной скоростью, смогут пройти через прорезь второго диска. Это произойдёт в том случае, когда за время, в течение которого молекулы движутся между обоими дисками, второй диск как раз успеет повернуться на угол , так что прорезь окажется на пути молекулярного пучка. Если диск вращается с угловой скоростью = 2n (где n – частота его вращения), то угол =·t=2nt. Но t = ℓ/υ, где υ – скорость молекул. Отсюда = 2n·ℓ/υ, а

. (3.4)

Зная угол между прорезями, расстояние между дисками и частоту их вращения можно вычислить скорость молекул. Для молекул водорода и кислорода при 0°С и при 100°С значение скоростей приведены в таблице 1.

Таблица 1

Газ

υ, м/с

(при 0°С)

υ, м/с

(при 100°С)

υ(Н2)/υ(О2)

(при 0°С)

υ(Н2)/υ(О2)

(при 100°С)

m(О2)/m(Н2)

Н2

1510

1765

4

4

16

О2

378

442

4

4

16

Экспериментальные значения скоростей в таблице отличаются от значений полученных по формулам (3.2) и (3.3). Различие в значениях возникает из-за того, что Ламмертом определялась наиболее вероятное значение скорости, а не среднеквадратичное. Анализируя таблицу можно прийти к выводу, что отношение квадратов скоростей молекул для различных температур равно отношению их масс

, отсюда (3.5)

. (3.6)

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекул не зависит от природы газа, а зависит только от его температуры. Данный вывод подтверждают наблюдения броуновского движения. С ростом температуры интенсивность движения броуновских частиц возрастает, т.е. увеличивается их скорость а, следовательно, и кинетическая энергия. Броуновское движение наблюдается в жидкостях, но можно предположить, что наше заключение справедливо как для жидких, так и для твёрдых тел.

Нам не раз встречается физическая величина называемая температурой. На температуру существует две точки зрения.

  1. Термодинамическая – считает, что наибольшую температуру имеет то тело, от которого тепло передаётся к другим телам. Теплопередача продолжается до тех пор, пока не наступает состояние теплового равновесия. Тепловое равновесие – это состояние, при котором температуры тел равны и между ними не происходит теплообмена. С данной точки зрения температура это – величина, характеризующая состояние теплового равновесия тел. Каждому состоянию теплового равновесия можно поставить в соответствие только одно значение температуры.

  2. Молекулярно-кинетическая считает, что температура – это величина, характеризующая интенсивность поступательного движения молекул. Определим абсолютную температуру как физическую величину, пропорциональную средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. Эта зависимость выражается уравнением

. (3.7)

Здесь – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана. Это табличная величина, она равна k = 1,38·10-23 Дж/град.

Для того чтобы можно было пользоваться понятием абсолютной температуры, нам следует установить метод измерения этой величины, её единицу измерения и определить нулевой уровень температуры. Учитывая термодинамический смысл температуры, мы можем свести измерение температуры любого тела к измерению средней кинетической энергии молекул вещества, находящихся в состоянии термодинамического равновесия с данным телом. Однако измерение скоростей молекул связано со значительными трудностями. Поэтому на практике измеряют не кинетическую энергию молекул, а некоторую величину, пропорциональную ей, например, объём жидкости или давление газа. Из основного уравнения МКТ (2.8) выразим среднюю кинетическую энергию молекул идеального газа

(3.8)

Сравнивая (3.7) и (3.8) получим

. (3.9)

При неизменной массе газа в заданном объёме, измеряя давление газа можно определить его абсолютную температуру.

Этот способ измерения температуры реализован в газовом термометре (рисунок 3.2). Он представляет собой баллон 1, который заполнен газом (обычно водородом); с помощью трубки 2 с расширением и резинового шланга 3 сосуд соединяется с манометрической трубкой 4. Сосуд с водородом приводится в контакт с телом, температуру которого нужно измерить. Поднимая или опуская манометрическую трубку, доводим уровень ртути в расширении 2 до заданной отметки, так что измерение давления производится при неизменном объёме газа. Газовый термометр сначала приводят в состояние теплового равновесия сначала с одним телом, а затем с другим, каждый раз измеряя при этом давление по высоте столбика ртути. Тогда из уравнения (3.9) при постоянном объёме получаем

. (3.10)

Измерение температуры сводится к измерению давления газа. На практике температуру измеряют не газовым термометром, а другими приборами – ртутными или спиртовыми термометрами, термометрами сопротивлений, термопарами. Во всех этих приборах используется эмпирическая шкала Цельсия. Основным недостатком которой является её нелинейность, что сказывается на точности измерений. Газовая шкала как это видно из уравнения (3.9) является линейной. Поэтому все приборы можно градуировать с помощью газового термометра, который служит эталонным прибором.

За единицу измерения абсолютной температуры принимается градус Кельвина – это одна сотая температурного интервала между точкой таяния льда и точкой кипения дистиллированной воды при нормальных условиях:

. (3.11)

На основе данного определения можно экспериментально определить значение абсолютной температуры для точки плавления льда и точки кипения воды. Действительно из (3.10) следует

. (3.12)

Из опыта следует, что

(3.13)

Согласно же определения градуса Кельвина Ткип–Тпл=100°К. Подставляя (3.13) в (3.12) получим

. (3.14)

Соответственно точка кипения воды равна 373,15(К).

Для практических измерений температуры используют температурную шкалу Цельсия. В ней точке кипения воды присвоена температура 100°С, точке плавления льда – 0°С. Таким образом цена градуса в абсолютной шкале и в шкале Цельсия одинакова. Сдвинут лишь нулевой уровень отсчёта температур. Соотношение между температурами в обеих шкалах изображено на рисунке (3.3). Нетрудно убедиться, что

. (3.15)

Нулевой уровень температуры по абсолютной шкале называется абсолютным нулём. Ему соответствует температура  273,15°С.

А бсолютный нуль – это предельно низкая температура. Ни при каких экспериментах невозможно получить температуру, меньшую абсолютного нуля. Можно считать, что при абсолютном нуле кинетическая энергия поступательного движения равна 0, но это не значит, что прекращается молекулярное движение молекул. Молекулы совершают так называемые нулевые колебания. При абсолютном нуле теряет смысл понятие идеального газа. Поэтому неверным является утверждение, что давление идеального газа при 0 К равно 0 Па, так как газ при низких температурах если и существует, то идеальным не является.