Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Сольницев Р. И. Автоматизация проектирования систем автоматического управления.doc
Скачиваний:
219
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
10.46 Mб
Скачать

Глава 6 автоматизация анализа сау

§ 6.1. Методы анализа сау и их применение в сапр

Под анализом понимается про­цесс разделения изучаемого объекта и его свойств на составляю­щие с дальнейшим наиболее полным выявлением характеристик объекта в зависимости от условий его функционирования.

Процедуры анализа органически входят во всякое научное ис­следование и обычно образуют его первую стадию, хотя и на по­следующих стадиях анализ сохраняет свое значение, выступая в единстве с другими процедурами исследования и проектирования. В САПР САУ инструменты анализа непосредственно связаны с ин­струментами синтеза и моделирования. В частности, задачи синтеза часто удается свести к многократному решению соответствующих задач анализа. Инженерный анализ САУ традиционно проводится алгебраическими, частотными и корневыми методами с привлечени­ем гармонической линеаризации, статической линеаризации, ва­риантов метода малого параметра. Применение традиционных «ручных» методов анализа к сложным, особенно нелинейным, САУ при решении практических задач в большинстве случаев оказывает­ся затруднительным, напротив — использование инструментов САПР САУ весьма плодотворно. В этой главе рассматриваются возможности применения машинно-ориентированных традиционных и собственно машинных методов анализа САУ и излагается ма­шинно-аналитический метод, разработанный с учетом особенностей САУ. Компоненты лингвистического и программного обеспечении подсистемы «Анализ» строятся аналогично соответствующим ком­понентам подсистем САПР САУ, рассмотренным в гл. 4, 5, и будут изложены в § 6.4.

Методы, которые образуют компоненты математического обес­печения подсистемы САПР САУ «Анализ», в соответствии с соста­вом математического обеспечения САПР САУ (см. § 3.2) включа­ют в себя:

1) машинно-ориентированные традиционные методы анализа САУ (алгебраические, частотные, гармонической и статистической линеаризации);

2) специально машинные методы, основанные на представле­нии процессов анализа САУ последовательностью реализуемых на ЭВМ операций над исходными и промежуточными числовыми дан­ными; эти методы практически непригодны при отсутствии ЭВМ;

3) машинно-аналитические методы, необходимым условием при­менения которых также является наличие ЭВМ, но в отличие от предыдущих промежуточные и конечные результаты исследования могут быть получены не в числовой, а в аналитической форме.

В данном параграфе рассматриваются методы первой группы, которые, по-видимому, и применялись «первыми пользователями» ЭВМ. С середины 50-х годов они использовались для построения амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ), областей Д-разбиения, корневых годографов.

Традиционные методы анализа САУ изложены в многочислен­ных работах по теории САУ и, как правило, являются скалярными, предназначенными для простых систем невысокого порядка. Такой подход оправдан тем, что при отсутствии ЭВМ анализ и расчет осуществлялись путем приближенных теоретических исследований в сочетании с макетированием и испытаниями, которые составля­ли, да и сейчас еще составляют большую часть инструментария проектировщика.

Машинная ориентация традиционных методов с целью приме­нения их в САПР состоит в том, чтобы распространить их на мно­гомерные системы высокого порядка, качество САУ определять не по одному, а по многим критериям, упростить и ускорить проце­дуру получения конечных результатов, а также осуществить сер­висное представление результатов (графиков, таблиц, расчетных данных) с помощью средств САПР.

Традиционно анализ САУ сводится к анализу устойчивости, ка­чества и точности. В таком же порядке рассмотрим его машинную ориентацию.

Машинная ориентация методов оценки устойчивости. Как из­вестно, оценку устойчивости линеаризованной САУ можно осу­ществлять алгебраическими (коэффициентами), частотными и кор­невыми методами.

1. Алгебраические методы. Эти методы позволяют по коэффициентам характеристического уравнения системы (3.11)

(6.1)

определять необходимые и достаточные условия нахождения дейст­вительных частей корней в левой полуплоскости комплексной пе­ременной К. Для применения коэффициентных методов необходи­мо получить характеристическое уравнение (6.1) исходной системы (3.11), что сводится к раскрытию определителя

Непосредственное раскрытие определителя (6.2) эквивалентно вычислению диагональных миноров матрицы А. Действительно, после приведения при а0≠0, в частности а0=1 уравнения (6.1) к форме

оказывается, что -сумма диагональных членов матрицы А; а2 — сумма всех диагональных миноров второго порядка матрицы А; ...; апопределитель матрицы А. При этом вычислительные затраты оказываются весьма значительными. Так, при п = 9 требуется 986400 операций умножения и 725 758 операций сложения. Машинная ориентация процедуры раскрытия определи­теля (6.2) состоит в выборе из существующих и разработке специ­альных методов, сокращающих вычислительные затраты. К суще­ствующим методам раскрытия определителя относятся классиче­ские методы А. М. Данилевского (советский математик, 1906— 1942); У. Ж. Ж. Леверье и Д. К. Фаддеева (французский и совет­ский математики, 1811 —1877; 1907 г.). Сущность метода А. М. Да­нилевского состоит в приведении матрицы

к нормальному виду — матрице Ф. Г. Фробениуса (немецкий ма­тематик, 1849—1917)

В качестве преобразующих матриц Ck выбираются матрицы, последовательно преобразующие строки матрицы А начиная с по­следней в соответствующие строки матрицы А.

Общее число операций при реализации метода А. М. Данилев­ского снижается по сравнению с прямым раскрытием определите­ля (6.2). Так, для п = 9 требуется 648 операций умножения и 576 сложения. Метод Данилевского положен в основу стандартных программ программного обеспечения ЦВМ. Использование этого метода в практике расчета САУ на ЭВМ показало, что при n>6 метод А. М. Данилевского имеет значительные погрешности из-за вырождения промежуточных подобных матриц (их элементы оказываются близкими к 0 при n>6).

Метод Леверье — Фаддеева основан на известной формуле Ньютона для сумм степеней корней характеристического полино­ма (6.3)

Суммы S1, S2, ..., Sn можно найти на основе известных формул линейной алгебры

Число операций умножения в этом методе оказывается большим, чем в предыдущем, причем для n=9 требуется 5228 операций умножения и 4644 сложения. Однако в отличие от предыдущего метода он нечувствителен к особенностям матриц .А. В то же время метод Леверье-Фадеева быстро накапливает ошибку округления начиная сn=7.

Метод, свободный от недостатков предыдущих классических методов, строится с учетом особенностей машинной реализации, в том числе разряженности исходной матрицы А. Общее выражение определителя матрицы размерностиnимеет вид

где сомножители аjdj представляют собой элементы матрицы А; vчисло инверсий перестановки (d1, d2, ..., dn).

Каждое произведение а1d1 а2d2…..аndn должно содержать элемен­ты матрицы аjdj, расположенные в различных строках и раз­личных столбцах. Это означает, что среди всех первых индексов, как и среди всех вторых, не должно быть одинаковых. Если рас­положить первые индексы в порядке их возрастания, как это сде­лано выше, то совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку (d1d2... dn)

Число инверсий v перестановки (d1d2... dn) определяет знак слагаемого определителя матрицы и находится следующим обра­зом: для каждого из чисел dj, j=1, ..., п, определяется количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются.

Элементы матриц могут быть как отличны от нуля, так и строго равны нулю. Матрица, имеющая небольшую часть ненулевых эле­ментов, называется разреженной. Очень часто матрицы, связанные с моделями САУ, оказываются такими.

Вычисление определителей разреженных матриц связано с на­хождением только ненулевых слагаемых и расчетом их знака, что может существенно сэкономить вычислительные затраты.

Рассмотрим алгоритм вычисления определителя разреженной матрицы. Будем рассматривать общий случай полиноминальной матрицы. Алгоритм работает только с ненулевыми элементами матрицы, которые могут быть пронумерованы от 1 до NP.

Вначале находится индексное выражение очередного слагаемо­го определителя. Оно представляет собой массив, состоящий из п номеров ненулевых элементов матрицы, образующих слагаемое. Задачу отыскания индексных выражений слагаемых определителя можно свести к поиску особых путей в специальном графе Г. Каж­дая его вершина соответствует ненулевому элементу aij матри­цы и имеет вес в виде полинома от λ. Каждая дуга графа направ­лена из вершины, соответствующей элементу iстроки матрицы, в вершину-й строки, принадлежащую другому столбцу:

Элементы первой строки являются истоками, а последней — сто­ками графа. Ненулевому слагаемому определителя матрицы в графе соответствует особый путь от истока к стоку, который со­держит вершины, отвечающие элементам матрицы из разных столб­цов. Множество таких путей в точности образует множество ненулевых слагаемых определителя.

Выражение для определителя матрицы можно записать следующим образом:

где N* — число слагаемых опреде­лителя; Пsвес s-гo пути, равный произведению весов вершин пути. Знак слагаемого, иначе число ин­версий у, находится непосредствен­но по вторым индексам вершин, входящих в путь.

Схема алгоритма расчета опре­делителя разреженной полиномиальной матрицы приведена на рис.6.1.

Входными данными алгоритма являются числа и массивы, представляющие ненулевые элементы полиномиальной матрицы N – размер матрицы; NP – число ненулевых элементов матрицы; МТМ — целочисленный массив номеров строк и столбцов ненулевых эле­ментов, каждому i-му (i= 1, ...,NP) ненулевому элементу, которому соот­ветствуют два элемента массива:

(2хi1)-й указывает номер стро­ки, a (2Xi)-и указывает номер столбца; МСМ — целочисленный массив степеней полиномов элемен­тов матрицы: AM— вещественный массив коэффициентов полиномов элементов матрицы; элементы матрицы записываются в порядке возрастания их номеров, коэффи­циенты каждого полинома записываются начиная со свободного члена.

Выходными параметрами алгоритма являются:

NXPстепень полинома определителя

полиномиальной матрицы;

ХР — вещест­венный массив коэффициентов полинома

определителя, NAчис­ло ненулевых слагаемых

определителя, IERпараметр ошибки,

принимающий два значения {0,1}:

0 — «все в порядке»,

1—опре­делитель строго равен нулю.

Пример 6.1. Расчет характеристического полинома систе­мы РДП (см. рис. 3.9, б).

Матрица А* линейных дифференциальных уравнений этой САР, представленных в форме (3.11), имеет вид

Для нахождения определителя матрицы по формуле (6.5) требуется вычис­лить определитель (6.2), который составляется по полиномиальный матрице (λЕ-A):

где жирным шрифтом представлены порядковые номера ненулевых элементов матрицы λЕ-A. Входные данные алгоритма запишутся следующим образом: JV = 4, ЛГР=10, МТМ=(1,1; 3,1;

4,1; 1,2; 2,2; 3,2; 2,3; 3,3; 1,4; 4,4), МСМ= = (1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 1), AM ==(10,1; —1; —1; 25; 0,1; 0.5; —1; 1.5; 1; —3.3; 0.33; 1).

Специальный граф для этой матрицы приведен на рис. 6.2, а.

В графе имеется пять особых путей, соответствующих ненулевым слагаемым определителя. Общее же число слагаемых равно N! = 24. Следовательно, 19 из них являются нулевым и не определяются рассматриваемым алгоритмом. На рис. 6.2, б показаны два пути, выходящие из вершины 1, а на рис. 6.2, в — один путь из вершины 4, выделенный жирной линией, и два пути из вершины 9. Характеристики путей приведены в табл. 6.1.

Искомый определитель искомой матрицы находится по формуле (6.5) в ре­зультате суммирования весов путей, взятых с соответствующим знаком:

Таким образом, получение характеристического полинома (6.1) обеспечивается стандартными и специальными программами, реа­лизуемыми на ЦВМ. В то же время надо всегда иметь в виду, что построение полинома (6.1) для каждого частного вида матрицы А может встретить много препятствий вычислительного характе­ра, преодоление которых зависит от искусства алгоритмиста и прог­раммиста. Перейдем теперь непосредственно к критериям оценки устойчивости по полиному (6.1).

Критерий А. Гурвица (немецкий математик, 1859—1919) сводится к установлению положительности главных миноров оп­ределителя вида:

При условии, что a0>0, Для реализации критерия Гурвица тре­буется вычисление п—2 определителей, что при п>10 приводит к весьма значительному расходу машинного времени. Напомним, что число операций умножения при вычислении определителя, напри­мер 9-го порядка, 986400.

Более удобен при машинной реализации критерий, который строится по определителю Гурвица и требует оценок:

Число вычислительных операций в этом случае значительно уменьшается.

В некоторых случаях целесообразно для машинной реализации воспользоваться предложенным венгерским математиком К. Ланцошем критерием. Для его применения в характеристическом урав­нении (6.1) произведем замену переменной λ,= 1—ρ/(1+ρ). Тогда вместо (6.1) получим boρn+b1ρn-1+ ... +bn=0.

При Re(λ)<0 преобразование λ= (1—ρ)/(1+ρ) отображает левую полуплоскость λ внутрь круга единичного радиуса плоско­сти ρ. Поэтому необходимым и достаточным условием устойчиво­сти будет

что с вычислительной точки зрения также является более эконо­мичным, чем вычисление определителей Гурвица.

Наиболее эффективен с вычислительной точки зрения алгоритм на основе алгебраического критерия, предложенного английским математиком Э. Раусом еще в 1877 г. Запишем характеристиче­ский полином (6.1) в виде, ориентированном на применение ЭВМ, когда коэффициенты полинома являются элементами некоторого массива А:

Алгоритм Рауса поясняется в табл. 6.2. Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического полинома плюс единица (N+1).

В первой строке табл. 6.2 записывают коэффициенты характе­ристического полинома (6.6) —элементы массива А в порядке воз­растания номеров, имеющих нечетные номера A(1), A(3), ...; во второй строке — элементы с четными номерами A(2), A(4), ....

Остальные коэффициенты таблицы вычисляются по формуле

где r = C1,i-2/C1,i-1, kномер столбца; iномер строки таблицы. Суждение об устойчивости системы делается по коэффициентам первого столбца таблицы. Для того чтобы корни полинома нахо­дились слева от мнимой оси, необходимо и достаточно, чтобы коэф­фициенты первого столбца таблицы Рауса были одного знака, на­пример при А (1) >0

Если не все коэффициенты первого столбца имеют один и тот же знак, то не все корни полинома лежат слева от мнимой оси и число корней справа от мнимой оси равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Изложим эффективный вычислительный алгоритм расчета эле­ментов таблицы, не требующий введения дополнительных масси­вов . Исходными данными для алгоритма являются степень и массив А коэффициентов полинома. В результате работы алгоритма в массиве А находятся коэффициен­ты первого столбца Рауса. Схема алгоритма приведена на рис. 6.3. Работа алгоритма для полинома п-й степени (6.6) поясняется табл. 6.3. В первых двух строках табл. 6.3 находятся элементы массива А, в которых записаны коэффициенты полинома — исходные данные для алгоритма. В первом столбце табл. 6.3 после окончания работы алго­ритма располагаются элементы массива А, в которых находятся коэффициенты первого столбца таб­лицы Рауса. Элементы таблицы Рауса вычисляются начиная с 3-й строки, а в каждой строке — слева направо. Можно убедиться, что ре­зультаты расчетов по табл. 6.2 и 6.3 совпадают, эффективность вы­числений во втором случае выше.

Пример 6.2. Пусть требуется исследо­вать устойчивость системы, характеристиче­ское уравнение которой имеет вид

Работа алгоритма поясняется табл. 6.4, в которой римскими цифрами указана последовательность вычислений элементов таблицы. Этот расчет можно срав­нить с расчетом традиционным алгоритмом, приведенным в [6]. Коэффициенты первого столбца табл. 6.4 имеют разные знаки, поэтому не все корни находятся в левой полуплоскости и система является неустойчивой. Наличие двух перемен знака коэффициентов первого столбца означает, что характеристический полином имеет два корня справа от мнимой оси.

Для дискретных систем имеется аналогичный непрерывный кри­терий Шур — Кона для уравнения

где z=epTo; T0— такт дискретности; р — оператор Лапласа.

Оценка с помощью этого критерия «на прямую» при большом п весьма громоздка. Если воспользоваться обратным преобразова­нием г=(1+ λ)/(1— λ), то круг |z|≤l отображается на область Re(λ)^0, что позволяет применить тот же критерий Рауса. Од­нако предварительное преобразование исходного характеристиче­ского уравнения после замены z= (1+ λ)/(1— λ), приводит к допол­нительным пересчетам коэффициентов аk в новые коэффициенты bj:

Практика расчетов устойчивости САУ подтвердила преимущества ал­горитма, представленного в табл. 6.3. Однако по-прежнему вычислительные погрешности становятся существенны­ми при n>10.

2. Частотные методы. В решении задач анализа устойчивости и качест­ва САУ широко применяются методы частотных характеристик (ЧХ), так как по ЧХ проектировщик может су­дить о таких важнейших характери­стиках САУ, как запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, резонансная частота, колебательность и т. д. Реа­лизация их на ЭВМ требует передел­ки и видоизменения исходных алго­ритмов применительно к машинной специфике. Практическое значение частотных методов исследования си­стем автоматического управления за­ключается в'их наглядности и воз­можности сопоставления эксперимен­тальных и расчетных данных.

Несмотря на значительное число предложенных алгоритмов расчета ЧХ на ЭВМ, их построение для харак­терных в промышленных САУ неми­нимально-фазовых звеньев с резко вы­раженными резонансными свойствами наталкивается на значительные труд­ности. Минимально-фазовые системы обладают однозначным соответствием амплитудной и фазовой ЧХ, а неми­нимально-фазовые таким свойством не обладают. Так, звено с передаточной функцией 1/(1—Тр) имеет фазовую характеристику

Наличие резонансных пиков на амплитудной ЧХ (АЧХ), скач­ков фазы на фазочастотных характеристиках (ФЧХ) требует про­ведения неоднократных «ручных» изменений шага по частоте о в процессе вычислений с целью отслеживания резких изменений. Определенные трудности имеются и при вычислении истинных значений ФЧХ, которые обусловлены тем, что аргумент комплекс­ного числа определен только с точностью до чисел вида 2πk, где kцелое число.

Из матричных соотношений (6.7) — (6.10) можно получить частные передаточные функции, связывающие отдельные состав­ляющие векторов Y, U, X между собой.

для которых выражения [Wi(ω)], φi(ω) имеют известный канони­зированный вид. Передаточная функция е-pτi определяет звено с запаздыванием, которое воспроизводит входной сигнал без иска­жений, но с постоянным запаздыванием по времени на величину τi. Такие звенья встречаются в САУ ЛА, ТГ, ГСП, ШР и других для отображения передачи сигналов через дискретные элементы или аппроксимации запаздывания в гидравлических, пневматиче­ских и электромагнитных цепях.

Из (6.11) можно получить другие элементарные звенья как частный случай, полагая соответствующие коэффициенты αi, βi, γi, аi, bi, ci равными нулю. На ЭВМ рассчитываются количества [Wi]

Остановимся на некоторых особенностях построения ЧХ на ЭВМ по приведенной методике. При реализации (6.13) для углов φ≈π/2значения аргументов в (6.13) стремятся к ∞, что исключает расчет таких точек на ЭВМ. Поэтомуarctg(...) в (6.12) следует заме­нить на выражения

В связи с этим программа вычисления фазы должна строиться с учетом возможных скачков функции φ (ω).

Если βi≠0, bi≠0, т. е. система демпфированная, то φ (ω) — непрерывная функция и скачка фазы не будет.

В любом из указанных «опасных» сочетаний коэффициентов следует проверить, попадает ли

В том случае, когда передаточную функцию Wks(p) не удается представить в виде набора функцийWi(p) и возникают особенности вWks(p) из-за наличия неминимально-фазовых и резонансныхзвеньев, приходится строить алгоритм вычисления ЧХ для общего случая представления Wks(p) в виде

Исходной информацией для расчета по-прежнему являются массивы и, граница диапазона частот, в котором требуется построить ЧХ. Определение необходимых для построения ЧХ значенийможет производиться средствами комплексной арифметики, входящей в ма­тематическое обеспечение ЭВМ без предварительного определения их аналитических выражений. Если по каким-либо причинам при­менение стандартных средств комплексной арифметики нежела­тельно, то расчет ЧХ производится следующим образом [14,17]. Вычисление значений вещественной и мнимой ЧХ осуществляется по выражениям

где RA, RB — вещественные части, a JA, JB — мнимые части по­линомов числителя и знаменателя в (6.17) на частоте оз. Для оп­ределения значений полиномов лучше всего приспособлена схема Горнера, позволяющая во многих случаях избежать ситуаций пе­реполнения и исчезновения порядка, поэтому вещественные и мни­мые части полиномов вычисляются по рекуррентным соотношени­ям, полученным на ее основе:

Следовательно, нужно найти корень 0 уравнения (6.22) и при этом значении корня вычислить значение амплитудной характе­ристики.

Такой подход позволяет выводить на печать только интересу­ющие проектировщика параметры: запасы устойчивости по амп­литуде и фазе, резонансную частоту, частоту среза и т. д.

3. Корневые методы оценки устойчивости. Оценка устойчивости линейной САУ может быть выполнена на основе анализа корней характеристического уравнения (6.1) в предположении, что урав­нение уже получено одним из приведенных в п. 1 способов.

Из существующих методов вычисления корней характеристи­ческого уравнения, реализованных в программном обеспечении ЦВМ, достаточно приемлемыми при анализе САУ оказались ме­тоды Рутисхаузера и Хичкока [2].

Алгоритм Хичкока решения уравнения (6.1) любой степени строится следующим образом. Перепишем уравнение (6.1) в виде a1λn+ a2λn-1 + ... + an+1 = 0, где aiвещественные числа, а п — лю­бое целое число. Алгоритм заключается в следующем: задавшись начальными приближениями р0 и q0, проводим следующие опе­рации:

При верных р и q, должно быть c = d = 0. Начальные приближе­ния р и q ищутся, например, с помощью программы псевдослу­чайных точек, равномерно распределенных в единичном многомером гиперкубе. Оценка изменения р и q определяется следу­ющим образом:

В дальнейшем строится итерационный процесс ph+l=pk+Δp, qk+l = qk-+Δq. Для рассмотренного и других алгоритмов решения уравнения (6.1) существенна сильная чувствительность точности вычислений к изменению коэффициентов уравнения (6.1). Так, для уравнения

λ4 -4 λ 3+(6-49*10-8) λ 2-4 λ +1=0

корни имеют значения λ i= 1,02681; λ 2=0,97389; λ 3,4=0,99976±j0.02645, тогда как пренебрежение величиной 49*10-8 сразу при­водит к очевидному результату λ 1.2.3.4=1.

Особые трудности возникают при вычислении близких по мо­дулю корней. В этом случае иногда оказывается полезным «изме­нить» характеристическое уравнение. Например, для уравнения

λ5 -5 λ 4-9 λ 3+5 λ -1=0

где λ i= 2,6180; λ 2=0,3820; λ 3=1,0; λ 4,5=0,5±j0.8656 требуется 15 тыс. итераций, чтобы найти эти корни [2].

Если же сделать замену λ = λ *+1, то корни уравнения

λ*5 - λ *4-2λ *2- λ* =0

λ i*= 0; λ 2*=1,6180; λ 3*= -0,6180; λ* 4,5=0,5±j0.8656 отыскивают­ся за несколько итераций.

После нахождения корней λ i оценка устойчивости производится по значениям Re (λ i). Более детальный анализ устойчивости сис­темы можно сделать путем построения корневых годографов. Для этого строят на ЦВМ зависимости

Re (λ i)=f1(a0, а1, a2,..., aл);

Im (λ i )= f2(a0, а1, a2,..., aл).

Реализуя эти зависимости численно на ЦВМ, для каждого на­бора коэффициентов а0i, а1i, а2i, ..., апi, i==[1, М], вычисляют значе­ния корней, например, методом Хичкока и изучают изменение ус­тойчивости по миграции корней на плоскости Re (λ i); 1m(λ i).

Машинная ориентация методов оценки качества и точности. Традиционные методы оценки качества и точности САУ делятся на временные, частотные и корневые.

1. Временные оценки качества. Эти оценки на практике осу­ществляются численными методами, при этом по исходной ММ САУ строится численный переходный процесс в ней, по которому и де­лаются нужные оценки. При машинной ориентации численных ме­тодов преимущества ЭВМ становятся особенно очевидными, при­чем в этом случае уже нет необходимости в предварительной ли­неаризации исходной системы. Временные процессы строятся мето­дами, изложенными в гл. 5, однако при анализе помимо воспро­изведения процессов, необходимо оценивать по ним характеристи­ки качества и точности. Для этого дополнительно к методам чис­ленного интегрирования, добавляются методы обработки детерми­нированных и стохастических процессов, получаемых на ЭВМ. При оценке качества САУ удобно применение интегральных оценок

предложенных А. А. Фельдбаумом (советский ученый в области САУ, 1913—1969).

Применяют также алгоритмы таких оценок на основе метода наименьших квадратов. Один из таких алгоритмов положен в ос­нову комплекса программ «обработки» подсистемы «Анализ» САПР САУ. Во многих случаях вид временного ряда, полученного в результате численного решения системы (3.10), напоминает ре­шение системы линейных дифференциальных уравнений. Обработ­ку временных рядов такого рода можно свести к задаче аппрок­симации заданных отсчетов функций yk(t) принадлежит вектору У, k=[1, N], функциями вида

Найденные в результате минимизации этого функционала харак­теристики процессов S=(α, η, ω, φ, М) позволяют осуществить подробный анализ исследуемой САУ. Значительно сложнее обра­ботка случайных процессов, которая при анализе САУ становится необходимой в связи со спецификой их применения.

В большинстве случаев используют алгоритмы, разработанные для стационарных и эргодических случайных процессов. Существо этих алгоритмов сводится к оценке математического ожидания

Характеристиками (6.29), (6.30) удобно пользоваться при расчете линейных САУ.

Многочисленные устройства по аппаратурной реализации фор­мул (6.26) — (6.30) основаны лишь на оценках соответствующих статистических характеристик, достоверность, состоятельность, не­смещенность и эффективность которых зависят от длины реали­зации Т.

При реализации на ЭВМ соответствующие разностные алгорит­мы имеют вид

где N — количество дискретных ординат реализации; п, т — ди­скретные аргументы корреляционной функции при единичном так­те дискретности.

С целью сокращения «расходов памяти» при вычислениях при­меняются рекуррентные формулы для расчета RXX (m), rxy (m):

Практика статистического оценивания случайных процессов сформировала значительное количество эмпирических рекоменда­ций, которые позволяют выбирать время реализации, дискретность выборки, память фильтра для обеспечения достоверности оценок статистических характеристик. Однако при оценках статистических характеристик сигналов в САУ непосредственное использование этих алгоритмов может привести к большим погрешностям, по­скольку одной из важных особенностей САУ является нестационар­ность возмущающих воздействий и некоторых из параметров со­стояния САУ. В этом случае не выполняется гипотеза эргодично­сти. Вычислительные алгоритмы статистической обработки сигна­лов для стационарного и нестационарного случайных процессов по одной реализации, по нескольким реализациям и по массиву реа­лизаций при анализе САУ строятся аналогично (6.31), (6.32) [15].

2. Частотные и корневые оценки качества. Эти оценки строятся на основе алгоритмов (6.11) — (6.21), (6.23), рассмотренных при анализе устойчивости. С помощью АФЧХ и корневых годо­графов, построенных на ЭВМ, можно определить характеристики качества процессов в САУ. ЧХ дают достаточно подробную инфор­мацию о качестве САУ. Однако в отличие от временных частот­ными методами обычно исследуются линейные системы в формах (3.15)-(3.17).