5. Образовательные технологии

№	Разделы (темы) учебной дисциплины	Образовательные технологии, используемые при реализации каждого вида учебной работы
		Лекции	Практические занятия
1.	Тема 1. Векторная алгебра.	классическая лекция	Решение типовых задач
2.	Тема 2. Элементы аналитической геометрии	классическая лекция; лекция-визуализация	Решение типовых задач. Компьютерные симуляции
3.	Тема 3. Комплексные числа.	классическая лекция	Решение типовых задач
4.	Тема 4. Матрицы и определители	классическая лекция	Решение типовых задач
5.	Тема 5. Линейные пространства	классическая лекция	Решение типовых задач
6.	Тема 6. Системы линейных уравнений	классическая лекция	Решение типовых задач. Разбор конкретных практических ситуаций. Компьютерные симуляции
7.	Тема 7. Евклидовы и унитарные пространства	классическая лекция	Решение типовых задач
8.	Тема 8. Линейные операторы	классическая лекция	Решение типовых задач
9.	Тема 9. Квадратичные формы	классическая лекция	Решение типовых задач
10.	Тема 10. Применение элементов аналитической геометрии и линейной алгебры в экономике	классическая лекция; лекция-визуализация	Решение типовых задач. Разбор конкретных практических ситуаций. Компьютерные симуляции.

6. Оценочные средства контроля успеваемости по итогам освоения учебной дисциплины

Контрольные вопросы

1. Определение вектора. Модуль. Равенство векторов. Свободные векторы.

2. Линейные операции над векторами и их свойства

3. Скалярное произведение векторов и его свойства. Связь с проекцией вектора на вектор. Условие ортогональности.

4. Векторное произведение и его свойства. Геометрический смысл. Условие коллинеарности

5. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Геометрический смысл. Условие компланарности.

6. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты векторов.

7. Линейные операции над векторами в координатной форме.

8. Прямоугольная система координат.

9. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, заданных своими координатами.

10. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.

11. Виды уравнений плоскости. Угол между плоскостями.

12. Виды уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми в трехмерном пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

13. Определения эллипса, гиперболы и параболы и их канонические уравнения

14. Поверхности второго порядка. Общее уравнение. Классификация поверхностей второго порядка.

15. Комплексные числа. Действия с комплексными числами

16. Корни многочлена, т.Безу, схема Горнера. Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей

17. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.

18. Определители квадратных матриц. Правила раскрытия определителей второго и третьего порядков

19. Свойства определителей

20. Обратная матрица, ее существование и единственность

21. Способы нахождения обратной матрицы (с примерами).

22. Ранг матрицы и его свойства.

23. Теорема о ранге матрицы

24. Методы нахождения ранга матрицы.

25. Определение линейного пространства. Примеры Свойства линейного пространства

26. Определение линейной зависимости элементов линейного пространства. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.

27. Определение базиса и размерности линейного пространства Связь между размерностью и базисом линейного пространства

28. Определение изоморфизма линейных пространств, формулировки теорем об изоморфизмах линейных пространств

29. Определение матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса.

30. Определение линейного подпространства. Примеры. Линейная оболочка векторов.

31. Определения и теоремы о сумме и пересечении линейных подпространств.

32. Определение прямой суммы линейных подпространств и соответствующее необходимое и достаточное условие.

33. Теорема о размерности суммы линейных подпространств

34. Системы линейных уравнений, основные понятия. Запись системы линейных уравнений с помощью матриц.

35. Теорема Кронекера-Капелли.

36. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы на конкретных примерах.

37. Правило Крамера с демонстрацией на конкретных примерах

38. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, с демонстрацией на конкретных примерах

39. Системы линейных однородных уравнений. Необходимое и достаточное условия для того, чтобы СЛОУ имела ненулевые решения.

40. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР. Нахождение фундаментальной системы решений.

41. Евклидовы пространства. Угол между векторами. Длина вектора и его свойства.

42. Доказательство неравенства Коши-Буняковского.

43. Определение нормированного пространства и  нормы. Введение нормы в евклидовом пространстве.

44. Определение ортогональной системы векторов и ее свойство.

45. Определение ортогонального и ортонормированного базисов. Вычисления в ортонормированном базисе.

46. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортонормированного базиса.

47. Определение линейного оператора, примеры.

48. Определение матрицы линейного оператора и ее основное свойство.

49. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Подобные матрицы и их основное свойство.

50. Произведение линейных операторов и его матрица.

51. Определения характеристических многочленов и характеристических уравнений матрицы и линейного оператора.

52. Определения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

53. Теорема о связи собственных значений и характеристического уравнения.

54. Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

55. Свойства собственных значений и собственных векторов.

56. Сопряженный, симметричный, ортогональный операторы в евклидовом пространстве, их свойства

57. Определение квадратичной формы и ее матрицы. Вырожденные и невырожденные квадратичные формы.

58. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

59. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогональных преобразований..

60. Закон инерции квадратичных форм.

61. Положительно определенные квадратичные формы. Определение, необходимые и достаточные условия.

62. Отрицательно определенные квадратичные формы. Определение, необходимые и достаточные условия.

63. Критерий Сильвестра

64. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

65. Модель международной торговли.

Домашние контрольные работы проводятся по типовым практикумам из учебного пособия «Сборник задач по высшей математике для экономистов» /Под ред. В.И. Ермакова– 2-е изд., испр. - М.: ИНФРА-М. 2007. – 575 с.

Примеры заданий тестов

Дисциплина Линейная алгебра

Тема Векторы. Аналитическая геометрия

Вариант1

1.	Зная разложение вектора по трем перпендикулярным ортам, вычислить длину вектора	а) ; б) ; в) ; г)
2.	Скалярное произведение векторов и равно…	а) -20; б) 0; в) 10; г) 5
3.	Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ? , , ,	ДА
		НЕТ
4.	Будут ли векторы линейно зависимыми ?	ДА
		НЕТ
5.	Дано общее уравнение прямой 3x-2y-7=0. Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом б) уравнение в отрезках в) нормальное уравнение прямой
6.	Издержки производства 100 шт. некоторого товара составляют 400 руб., а 600 шт. – 800 руб. Определить издержки производства 300 шт. товара при условии, что функция издержек линейна.
7.	Плоскость 2x-3y+4z+8=0 проходит через точку…	а) D(2,0,5); б) A(-1,6,3); в) E(2,7,0); г) O(0,0,0)
8.	Плоскости 5x+8y-z-7=0, x+2y+3z-1=0, 2x-3y+2z-9=0 пересекаются в точке…	а) (3,-1,0); б) (-1,6,3); в) (3,7,0); г) точки пересечения 3-х плоскостей нет
9.	Найти угол между плоскостью 3x-y+2z-4=0 и прямой, проходящей через начало координат и точку М(2;-1;3). Вычислить расстояние от точки М до плоскости.
10.	Прямая и плоскость пересекаются в точке…	а) (1,2,3); б) (1,-2,0); в) (-1,0,2); г) (0,0,-2)
11.	Какое из приведенных уравнений определяет гиперболу	а) ; б) ; в) ; г)
12.	Вершина параболы имеет координаты…	а) (-2,1); б) (0,7); в) (4,-1); г) (3,5)

Дисциплина Линейная алгебра

Тема Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Вариант 1

№ п/п	Задания	Варианты ответов
1.	Следует ли из равенства нулю произведения матриц то, что одна из матриц нулевая?	ДА
		НЕТ
2.	Установить соответствие а) , б) , в) , г)	а) , б) , в) г) ,
3.	Чему равен определитель матрицы ?	а) -3; б) -27; в) нет правильного ответа г) 3
4.	Как изменится определитель n-го порядка, если к каждой строке, кроме последней, прибавить последующую строку?	а) умножится на ; б) умножится на ; в) умножится ; г) не изменится
5.	Разложить определитель по строке (или столбцу), содержащей буквы
6.	Обратная матрица существует для …	а) любых матриц; б) нулевых матриц; в) прямоугольных матриц; г) квадратных матриц
7.	При каком значении параметра ранг матрицы равен 2?	а) ; б) ; в) ; г)
8.	Решить систему по формулам Крамера
9.	Для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение…, чтобы ее определитель был равен нулю	а) необходимо; б) достаточно; в) необходимо и достаточно; г) необходимо, но не достаточно
10.	Найти общее решение системы

Примерный вариант контрольной работы

Вариант №1 Найти корни уравнения , представить их в тригонометрической форме, найти и Найти: а) определители матриц и ; б) ранги матриц и ; в) применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов , , если , Найти НОД двух многочленов и Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей Структурная матрица торговли трех стран имеет вид . Найти соотношения между бюджетами стран для сбалансированной торговли