Содержание учебной дисциплины

Раздел I. Введение в Математический анализ. Понятие множества. Подмножество. Равенство множеств. Пустое множество. Операции над множествами: пересечение, объединение и сумма множеств. Декартово произведение множеств. Множества натуральных, целых рациональных и иррациональных чисел. Действительные числа. Модуль действительного числа и его геометрический смысл. Свойства модуля. Основные понятия в множестве действительных чисел: сегмент, интервал, полуинтервал, ε-окрестность. Понятие расширенной системы действительных чисел и несобственного числа. Верхние и нижние границы числовых множеств. Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Понятия функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Функция Дирихле, функция знака и целой части числа. Обратные тригонометрические функции. Круговая и гиперболическая тригонометрии. Гиперболические функции. Преобразования графиков, построение графиков при помощи цепочки преобразований.

Определение высказывания. Истинные и ложные высказывания. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, двойная импликация. Необходимые и достаточные условия. Логические символы. Правило построения отрицаний.

Раздел II. Теория пределов. Непрерывность. Определение числовой последовательности и ее предела. Единственность предела сходящейся последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические операции с пределами последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теорема о предельных переходах в неравенствах. Монотонные последовательности. Свойства монотонных последовательностей. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение предела функции по Коши и по Гейне. Арифметические операции с пределами функций. Односторонние пределы. Бесконечно малые величины. Выделение главной части бесконечно малой. Теорема о представлении бесконечно малой. Бесконечно большие величины.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Первая и вторая теоремы Коши для непрерывных функций.

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции одного переменного. Определение производной, ее геометрический и физический смысл. Односторонние производные. Связь производной с односторонними производными. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производные обратной и неявно заданной функции. Производная функции, заданной параметрически. Определение дифференцируемости функции в точке и на множестве. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования в дифференциалах. Определение производной и дифференциала n-ного порядка. Формулы Лейбница. Производные высших порядков функции, заданной параметрически. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Роля. Теорема Коши для дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Формула Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение основных функций по формуле Тейлора.

Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Теорема ферма. Экстремум функции, не дифференцируемой в точке. Необходимое условие экстремума. Достаточные условие экстремума. Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Полное исследование функций и построение графиков.

Раздел IV. Интегральное исчисление функции одного переменного. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Свойство неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод разложения, внесение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям. Понятие рациональной дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей.

Задачи, приводимые к понятию определенного интеграла: задача о нахождении площади криволинейной трапеции и задача о нахождении массы стержня. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Теорема о среднем для интегрального исчисления. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длин дуг и объемов тел вращения. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Сходимость несобственных интегралов. Признаки сравнения. Понятие о несобственных интегралах от неограниченной функции.

Раздел V. Функции многих переменных. Координатная плоскость . Расстояние между двумя точками в . Окрестность точки в . Внутренние, изолированные и граничные точки множества. Открытое и замкнутое множество. Связное множество. Область в . Определение функции двух и n переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции двух и n переменных. Теоремы о непрерывных функциях: первая теорема Вейерштрасса, вторая теорема Вейерштрасса, теорема Коши о промежуточных значениях.

Определение частных производных. Дифференцируемые функции. Дифференциал. Правила дифференцирования в дифференциалах. Частные производные и дифференциал высших порядков. Градиент функции и его свойства. Производная по направлению. Связь производной по направлению и градиента. Экстремум функции двух и n переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Условный экстремум. Метод подстановки. Функция Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача математического программирования. Принцип Лагранжа.

Раздел VI. Дифференциальные уравнения. Определение дифференциального уравнения. Уравнения в обычных и частных производных. Порядок дифференциального уравнения. Уравнения, разрешенные относительно производной. Определение решения дифференциального уравнения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Теорема существования и единственности и ее геометрический смысл. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Понятие об интегрирующем множителе. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

Дифференциальные уравнения 2-го и n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача Коши для уравнения второго порядка и ее геометрический смысл. Краевая задача. Начальные и граничные условия. Единственность решения задачи Коши и краевой задачи. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ). Теорема о решении ЛОДУ. Линейная независимость функций. Определитель Вронского. Условие линейной независимости функций. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ. Линейная независимость функций y=cosx и y=sinx; и ; и . Характеристическое уравнение. Нахождение общего решения ЛОДУ по корням характеристического уравнения. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и структура его общего решения. Нахождение частного решения по виду правой части методом неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных. Понятие об операторном методе нахождения частного решения. Понятие о структуре общего решения линейного однородного и линейного не однородного уравнения n- го порядка.

Понятие о линейной однородной и линейной неоднородной системах дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод подстановки. Метод вариации произвольных постоянных. Понятие об операторном методе. Устойчивость. Особые точки.

Раздел VII.Двойные интегралы. Определение двойного интеграла для прямоугольной и произвольной области. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла для прямоугольной и произвольной области. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.

Раздел VIII. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Определение числового ряда. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда.. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий коши. Ряды с неотрицательными членами. Мажорантный признак сравнения. Предельный признак сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора. Разложение элементарных функций в степенной ряд.