32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2

Рассмотрим идею конечно-разностных методов. Имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка, определенное на отрезке [a,b]

(1)

где p(x),q(x),f(x) - известные функции ;

граничные условия в общем виде выражаются следующим образом:

(2)

(3)

–заданные постоянные, причем выполняется условие .

Простейшим способом построения конечно-разностной системы алгебраических уравнений является замена производных через значения функции в узлах сетки. Такая замена может быть получена различными способами.

Например, известно, что из разложения функции u(x) в ряд Тейлора на равномерной сетке могут быть получены следующие соотношения:

(4)

- правая разностная схема с первым порядком аппроксимации по h

(5)

- левая разностная схема с первым порядком аппроксимации по h

(6)

- центральная разностная схема со вторым порядком аппроксимации по h. Вторую производную можно заменить в i-том узле сетки формулой второй разностной производной

(7)

со вторым порядком аппроксимации по h. Эти формулы приведены для равномерной сетки. В общем случае порядок аппроксимирующего выражения будет зависеть от распределения узлов сетки и гладкости функции. Будем предполагать, что , выберем произвольный узел с номером i=1,2,…,n-1 и воспользуемся соотношениями (6) и (7). Запишем уравнение (1)

(8)

Приведем подобные, получим

(9)

или

(10),

где ,

Т.к. узел сетки выбирался произвольно, поэтому мы разностное уравнение распространили на все внутренние узлы сетки. Учтем, что для аппроксимации выбирались конечно-разностные соотношения второго порядка точности, т.е . Также будем предполагать , что , т.е. функцию правой части аппроксимируем точно. Далее необходимо записать конечно-разностную аппроксимацию для граничных условий (2)-(3). Воспользуемся соотношениями (4)-(5), получаем

(11)

(12)

Преобразуем

(13)

(14)

Здесь и . При достаточно малых h можем отбросить погрешность аппроксимации R_i, i=0,1,2,…,n и получим конечно-разностную схему первого порядка аппроксимации

(15)

(16)

(17)

Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения (1)-(3) сведено к решению системы алгебраических уравнений (15)-(17). Такая система будет линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно (или нелинейно) исходное дифференциальное уравнение.

О близости задачи (15)-(17) к исходной задаче (1)-(3) судят по норме вектора . Если норма этого вектора || R || 0 при h0, то говорят, что построенная разностная схема (15)-(17) аппроксимирует исходную краевую задачу (1)-(3). Если при этом выполняется условие , то говорят, что разностная задача (15)-(17) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1)-(3) с погрешностью k-го порядка относительно h. В рассмотренном случае имеем погрешность первого порядка, т.к. граничные условия заменялись соотношениями первого порядка аппроксимации. Для повышения порядка аппроксимации достаточно более точно заменить первые производные на концах отрезка и . Например, можно использовать следующие формулы:

(18)

(19)

Соотношения (15)-(17) представляют собой систему алгебраических уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных. Решив эту систему, найдем приближенное решение исходной задачи (1)-(3).