- •Часть 2
- •Содержание
- •Лекция 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •1.1. Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
- •1.2. Касательная и нормаль к графику функции.
- •1.3. Дифференцируемость и непрерывность.
- •1.1. Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
- •1.2. Касательная и нормаль к графику функции.
- •1.3. Дифференцируемость и непрерывность.
- •Лекция 2. Правила дифференцирования.
- •2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций
- •2.2. Производные обратной и сложной функций
- •2.3. Производные элементарных функций
- •2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.
- •2.2. Производные обратной и сложной функций.
- •2.3. Производные элементарных функций.
- •Лекция 3. Дифференциал функции.
- •3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
- •3.2.Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
- •3.2. Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Лекция 4. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •4.1. Теорема Ферма.
- •4.2. Теорема Ролля.
- •4.3. Теорема Лагранжа.
- •4.4. Теорема Коши.
- •4.5. Правило Лопиталя.
- •4.6. Формула Тейлора.
- •Лекция 5. Применение производных к исследованию функций.
- •5.1. Условие монотонности функции. Определение максимума и минимума функции в точке.
- •5.2. Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной.
- •5.3. Достаточное условие существования экстремума функции одной переменной.
- •5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •5.5. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.
- •5.6. Асимптоты графика функции.
- •Лекция 6. Функции многих переменных.
- •6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.
- •6.2. Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.
- •6.3. Частные производные.
- •6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.
- •6.2. Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.
- •6.3. Частные производные.
- •Лекция 7. Дифференцируемость функции двух переменных.
- •7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных. Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
- •7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
- •7.3. Производная функции по направлению.
- •7.4. Градиент функции.
- •7.5. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
- •Лекция 8. Метод наименьших квадратов.
- •8.1. Метод наименьших квадратов
- •8.2.Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).
- •8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.
- •8.1. Метод наименьших квадратов.
- •8.2. Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).
- •8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.
- •Лекция 9. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •9.1.Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
- •9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций.
- •9.3. Основные методы интегрирования функций.
- •9.1. Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
- •9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства.
- •9.3. Основные методы интегрирования функций.
- •Лекция 10. Интегрирование некоторых классов функций.
- •10.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •10.2. Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби.
- •10.3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •10.4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки.
- •Лекция 11. Определенный интеграл.
- •11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
- •11.2. Свойства определенного интеграла.
- •11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
- •11.2. Свойства определенного интеграла.
- •11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.
- •12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
- •12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
- •12.3. Методы интегрирования определенного интеграла.
- •12.4. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •12.5. Несобственные интегралы.
- •Лекция 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •13.1. Определение дифференциального уравнения. Основные понятия.
- •13.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения.
- •13.3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- •13.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •13.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •14.1. Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.
- •14.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (фср). Теоремы об общем решении.
- •14.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •14.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.
- •Лекция 15. Числовые ряды.
- •15.1. Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
- •15.1. Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
- •Лекция 16. Степенные ряды. Функциональные ряды
- •16.1. Определение степенного ряда.
- •16.2. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •16.3. Определение ряда Тейлора. Ряд Маклорена.
- •16.4. Разложение функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд.
- •16.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
- •Раздел VIII.
- •Лекция 17. Модели межотраслевого баланса.
- •17.1. Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева.
- •17.2. Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •17.3. Линейная модель торговли.
- •17.1. Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева.
- •17.2. Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •17.3. Линейная модель торговли.
- •Лекция 18. Модели общего экономического равновесия.
- •18.1. Простейшая модель экономического равновесия.
- •18.2. Паутинообразная модель
- •18.3. Модель Эванса.
- •18.4. Модель Эрроу – Гурвица.
- •18.5. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
- •Лекция 19. Производственные функции и их характеристики.
- •19.1. Производственные функции и их основные характеристики.
- •19.2. Оптимальное распределение ресурсов.
- •19.3. Максимизация прибыли производства продукции.
- •19.4. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции.
- •Рекомендуемая литература.
19.4. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции.
a) В условиях несовершенной конкуренции (монополии) одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определенной продукции и цены на неё. С увеличением цены спрос на продукцию падает: P=aq+b, a<0, b>0. Суммарный доход r (выручка) r=pq, где p – цена единицы продукции, q – количество (объем продукции).
, a<0, b>0.
Средний доход на единицу продукции . Предельный доход (то есть дополнительный доход от реализации дополнительной продукции) .
Вывод: В условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.
б) В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене : p=b. Суммарный доход , средний доход , предельный доход .
В ывод:
В условиях сводного конкурентного рынка средний и предельный доходы совпадают.
Общие модели развития экономики.
1.Факторы экономического роста
2.Модель Харрода – Домара.
3.Модель Солоу.
1. Факторы экономического роста.
Под экономическим ростом (ЭР) обычно понимают увеличение реального дохода в экономике, к которому относят:
Внутренний национальный продукт,
ВВП (валовой внутренний продукт),
НД (национальный доход),
Рост реального выпуска продукции в расчете на душу населения.
Различают экстенсивный и интенсивный рост экономики.
К экстенсивным факторам относят рост затрат капитала и труда.
К интенсивным факторам – технологический процесс, рост образовательного и профессионального уровня работников, совершенствование управления производством, улучшение законодательства.
В настоящее время широко распространение получили Кейнсианский и монетаристский подходы к прогнозированию и регулированию рыночной экономики.
Кейнс считал, что деньги воздействуют на развитие экономики не через цены, а через норму ссудного процента. Рост нормы ссудного процента удорожает кредит и ведет к сокращению инвестиций в производство, а снижение нормы ссудного процента стимулирует инвестиции в производство.
Монетаристы считают, что скорость обращения денег является переменной величиной и сформулировали “денежное правило” – среднегодовой прирост денежной массы может составлять 4 – 5% в год при среднегодовом увеличении валового национального продукта ≈ на 3% и незначительном снижении скорости оборота денег.
2.Модель Харрода – Домара.
Наиболее простой кейнсианской моделью роста является модель Харрода – Домара.
Эта модель описывает динамику дохода Y(t), который является суммой потребления C(t) и инвестиций I(t). Y(t) = C(t) + I(t) (1)
Величина называется нормой накопления в момент времени t.
Основной предпосылкой модели роста является формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода, предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям: , (2).
B – коэффициент капиталоемкости прироста дохода , обратная величина - называется коэффициентом капиталоотдачи.
В модели включается ряд предпосылок:
1. Модель не учитывает выбытия капитала
2. Инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала: (за бесконечно малый промежуток времени инвестиции равны приросту капитала )
3. - потребление подчинено экспоненциальному закону, r – постоянный темп роста потребления.
4. Модель не учитывает технического процесса.
Подставим (2) в уравнение (1), учитывая , где C0 – начальное потребление.
или - д. у. 1-го порядка
Решив эту задачу Коши, получим .
Рассмотрим частные случаи:
1) , то есть темп роста потребления превышает коэффициент капиталоотдачи. Потребление будет занимать с ростом r все большую часть дохода и в конце концов сведет к нулю сначала инвестиции, а затем и доход.
2) , тогда поведение модели зависит от нормы накопления в начальной момент времени .
3.Модель Солоу.
Модель позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов.
1.ПФ в этой модели нелинейная.
2.Модель учитывает выбытие основного капитала.
3.Модель включает описание динамики трудовых ресурсов.
Состояние экономики в модели задается пятью переменными, которые являются функциями времени:
Y – ВВП (валовой внутренний продукт)
C – потребление
I – инвестиции
L – число занятых в производстве
K – фонды (капитал)
В модель включаются:
- норма накопления, т.е. доля валовых инвестиций в ВВП
- годовой темп прироста числа занятых в производстве.
- доля выбывшего за год капитала , , .
, , - постоянны во времени.
Предполагается, что выпуск продукции в каждый момент времени определяется неоклассической ПФ: .
Модель Солоу в абсолютных показателях:
Введем удельные показатели:
- фондовооруженность,
- удельные инвестиции на одного занятого,
- среднедушевое потребление на одного занятого.
Модель Солоу в удельных показателях имеет вид: , , , , , .
Изменяющиеся во времени показатели называются соответственно абсолютными и относительными траекториями.