Лекция 14. Дифференциальные уравнения второго порядка.

14.1. Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.

14.2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (ФСР). Теоремы об общем решении.

14.3.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

14.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.

14.1. Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1) или .

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция вида , зависящая от двух произвольных постоянных и и удовлетворяющая уравнению (1) при любых значениях и .

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (1) называется функция , полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных .

Начальные условия для дифференциального уравнения второго порядка задаются с помощью трех чисел или и . Иначе говоря задается точка и угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в данной точке. Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, называется решением задачи Коши.

Геометрический смысл решения задачи Коши.

Так как , то среди интегральных кривых, проходящих через точку , находят единственную кривую, для которой прямая с угловым коэффициентом , является касательной.

14.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (фср). Теоремы об общем решении.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (2).

Свойства решений уравнения (2).

1.Если и - решения уравнения (2), то тоже решение уравнения;

2.Если решение уравнения (2), то тоже решение уравнения (2) при любом .

Определение. Решения и уравнения (2) называются линейно-

зависимыми, если для . Решения и уравнения (2)

называются линейно-независимыми, если для .

Определение. Фундаментальной системой решения однородного уравнения (2) называются любые два линейно независимых решения уравнения (2).

Пример. Для уравнения функции , являются частными решениями, причем решения и , и , и , и , и , и , и являются линейно-независимыми и образуют ФСР; пары решений и , и - линейно-зависимые.

Теорема. (о структуре общего решения линейного однородного уравнения второго порядка).

Пусть и образуют ФСР уравнения (2), тогда общее решение уравнения (2) имеет вид , где и -произвольные постоянные.

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (3), где .

Этому уравнению соответствует однородное уравнение (2).

Теорема. (о структуре общего решения неоднородного уравнения)

Общее решение неоднородного уравнения (3) есть сумма общего решения соответствующего ему однородного уравнения (2) и частного решения неоднородного уравнения (3), то есть , где - общее решение (3), - общее решение (2), - частное решение (3).