Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике семестр2.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
4.78 Mб
Скачать

6.3. Частные производные.

Пусть функция определена на множестве , точки , , , .

Определение. Частной производной функции по переменной x в точке называется предел отношения частного приращения функции z по переменной x в точке к приращению аргумента , когда . .

Определение. Частной производной функции по переменной y в точке называется предел отношения частного приращения функции z по переменной y в точке к приращению аргумента y, когда .

.

Замечание: 1) все правила дифференцирования функции одной переменной справедливы для функций многих переменных; 2) при нахождении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считают постоянными, то есть для функции при вычислении , при вычислении ; для функции при вычисления , при вычислении , при вычислении

Пример.

Лекция 7. Дифференцируемость функции двух переменных.

7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных.

Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

7.3. Производная функции по направлению.

7.4. Градиент функции

7.5. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.

7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных. Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Пусть функция определена в области , точка .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в точке представимо в виде где числа A и B не зависят от и , , при , и , .

Определение. Главная линейная по и часть полного приращения функции в точке называется полным дифференциалом функции z в точке и обозначается .

Для независимых переменных x и y их приращения совпадает с дифференциалами, то есть , , поэтому

. В приближённых вычислениях при малых приращениях и или

.

Для вычисления приближённого значения функции используют формулу .

7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

Пусть функция дифференцируема в области и ее частные производные первого порядка сами являются функциями двух переменных.

Определение. Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка.

Определение. Частными производными порядка называются частные производные от частных производных порядка.

Определение. Частные производные по различным переменным называется смешанными. Их обозначают ,

Теорема. Если смешанные производные существуют и непрерывны, то они равны между собой, то есть .

Пример.

Определение. Полным дифференциалом второго порядка функции называется ее полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка.

Определение. Полным дифференциалом порядка функции двух переменных называется ее полный дифференциал от полного дифференциала порядка и

7.3. Производная функции по направлению.

П усть функция определена в области , и функция z дифференцируема в точке , тогда .

Определение. Производной функции в точке в направлении вектора называется предел отношения приращения функции z в направлении вектора в точке к

величине , когда .

где - направляющие косинусы вектора (они же координаты единичного вектора ).

Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в точке в направлении вектора .

Пример. Найти производные функции в точке в направлении вектора где .

1)

2)

3) В точке М функции возрастает в направлении вектора .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.