Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике семестр2.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
4.78 Mб
Скачать

2.2. Производные обратной и сложной функций

2.3. Производные элементарных функций

2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.

Процедура вычисления производной функции называется дифференцированием функции. Следующие теоремы помогают свести вычисление производных одних функций к вычислению производных других, более простых функций.

Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , то в точке x дифференцируемы их сумма, разность, произведение и частное, причем:

1.

2.

3.

Доказательство. Установим справедливость формулы 2.

Аргументу x дадим приращение , при этом функции и получат приращение и соответственно. Приращение произведения этих функций имеет вид:

. Тогда , то есть .

Доказательство формул 1 и 3 предлагаем провести самостоятельно.

Замечание.

1. Производная постоянной равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. 4.

2.2. Производные обратной и сложной функций.

Пусть функция - дифференцируемая и строго монотонная функция

на множестве . Если переменную у рассматривать

как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y, .

Теорема 1. Пусть функция в точке имеет производную , тогда обратная функция в точке имеет производную, причем .

Пример. Если , то .

. То есть как , так и .

Пусть переменная у есть функция от переменной х, а переменная х есть функция от независимой переменной t, то есть задана сложная функция .

Теорема 2. Если функция и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу х, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной t, то есть .

Замечание. Если , то .

Пример. Рассмотрим , где , то есть .

2.3. Производные элементарных функций.

;

;

.

Лекция 3. Дифференциал функции.

3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.

3.2.Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.

3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.

Определение. Функция ,определенная на множестве X, называется дифференцируемой во внутренней точке , если ее приращение в точке можно представить в виде , где A не зависит от , а при .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке функция имела конечную производную.

Доказательство.

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Докажем, что в точке функция имеет конечную производную. Из определения

дифференцируемости функции в точке следует, что

Разделим равенство на . Получим:

.

Достаточность. Пусть в точке имеет конечную производную

, тогда , где при функция дифференцируема в точке по определению дифференцируемости.

3.2. Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Из условия дифференцируемости функции в точке следует, что , где при . Здесь оба слагаемых в правой части стремятся к 0, но второе слагаемое стремится к 0 быстрее, чем первое при А , поэтому первое слагаемое является главной, линейной по частью приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная линейная по часть приращения функции и записывается .

Д ля независимой переменной x приращение совпадает с ее дифференциалом, так как , поэтому . Формула справедлива и для случая, когда x представляет собой дифференцируемую функцию.

Геометрический смысл дифференциала.

В

дифференциал функции в точке есть приращение ординаты касательной к графику функции

в точке , когда аргумент получает приращение .

Одно из назначений дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение на линейную функцию от , совершив, по возможности, меньшую ошибку. При этом считают приращение функции совпадающим приближенно с ее дифференциалом, пренебрегая вторым слагаемым в приращении функции, то есть (1).

Так как и , получим . (2)

(1) – формула для вычисления приближённого значения приращения функции, (2) - формула для вычисления приближённого значения функции.

Пример. Найти .

Пусть , то есть . Возьмем , . Используя формулу (*) получаем .

Правила вычисления дифференциалов.

Пусть U и V - дифференцируемые функции, тогда

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.