2.2. Производные обратной и сложной функций
2.3. Производные элементарных функций
2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.
Процедура вычисления производной функции называется дифференцированием функции. Следующие теоремы помогают свести вычисление производных одних функций к вычислению производных других, более простых функций.
Теорема.
Если функции
и
дифференцируемы в точке
,
то в точке x
дифференцируемы их сумма, разность,
произведение и частное, причем:
1.
2.
3.
Доказательство. Установим справедливость формулы 2.
Аргументу x
дадим приращение
,
при этом функции
и
получат приращение
и
соответственно. Приращение произведения
этих функций имеет вид:
.
Тогда
,
то есть
.
Доказательство формул 1 и 3 предлагаем провести самостоятельно.
Замечание.
1. Производная постоянной равна нулю.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
3.
4.
2.2. Производные обратной и сложной функций.
Пусть функция
- дифференцируемая и строго монотонная
функция
на множестве
.
Если переменную у
рассматривать
как аргумент, а
переменную х
как функцию, то новая функция
является обратной к данной и, как можно
показать, непрерывной на соответствующем
промежутке Y,
.
Теорема 1.
Пусть функция
в точке
имеет производную
,
тогда обратная функция
в точке
имеет производную, причем
.
Пример.
Если
,
то
.
.
То есть как
,
так и
.
Пусть переменная
у есть
функция от переменной х,
а переменная х
есть функция от независимой переменной
t,
то есть задана сложная функция
.
Теорема 2.
Если функция
и
- дифференцируемые функции от своих
аргументов, то производная сложной
функции равна производной данной функции
по промежуточному аргументу х,
умноженной
на производную промежуточного аргумента
по независимой переменной t,
то есть
.
Замечание.
Если
,
то
.
Пример.
Рассмотрим
,
где
,
то есть
.
2.3. Производные элементарных функций.
;
;
.
Лекция 3. Дифференциал функции.
3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
3.2.Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
Определение.
Функция
,определенная
на множестве X,
называется дифференцируемой во внутренней
точке
,
если ее приращение в точке
можно представить в виде
,
где A
не зависит от
,
а
при
.
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке функция имела конечную производную.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
дифференцируема в точке
.
Докажем, что в точке
функция имеет конечную производную.
Из определения
дифференцируемости
функции в точке следует, что
Разделим равенство
на
.
Получим:
.
Достаточность.
Пусть
в точке
имеет конечную производную
,
тогда
,
где
при
функция дифференцируема в точке
по определению дифференцируемости.
3.2. Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
Из условия
дифференцируемости функции в точке
следует, что
,
где
при
.
Здесь оба слагаемых в правой части
стремятся к 0, но второе слагаемое
стремится к 0 быстрее, чем первое при
А
,
поэтому первое
слагаемое является главной, линейной
по
частью приращения функции.
Определение.
Дифференциалом функции
в точке
называется главная линейная по
часть приращения функции и записывается
.
Д
ля
независимой переменной x
приращение совпадает с ее дифференциалом,
так как
,
поэтому
.
Формула
справедлива и для случая, когда x
представляет собой дифференцируемую
функцию.
Геометрический смысл дифференциала.
В
дифференциал
функции в точке
есть приращение ординаты касательной
к графику функции
в точке
,
когда аргумент
получает приращение
.
Одно из назначений
дифференциала состоит в том, чтобы
заменить приращение
на линейную функцию от
,
совершив, по возможности, меньшую ошибку.
При этом считают приращение функции
совпадающим приближенно с ее дифференциалом,
пренебрегая вторым слагаемым в приращении
функции, то есть
(1).
Так как
и
,
получим
.
(2)
(1) – формула для вычисления приближённого значения приращения функции, (2) - формула для вычисления приближённого значения функции.
Пример.
Найти
.
Пусть
,
то есть
.
Возьмем
,
.
Используя формулу (*) получаем
.
Правила вычисления дифференциалов.
Пусть U и V - дифференцируемые функции, тогда
