Лекция 16. Степенные ряды. Функциональные ряды

16.1. Определение степенного ряда.

16.2. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

16.3. Определение ряда Тейлора. Ряд Маклорена.

16.4. Разложение функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд.

16.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

16.1. Определение степенного ряда.

Определение. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от x, определенными на (a;b): (1).

Если , то (2) – числовой ряд.

Определение. Если сходится числовой ряд (2), то функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке и точка называется точкой сходимости ряда (1).

Определение. Если сходящийся числовой ряд (2) расходится, то функциональный ряд (1) называется расходящимся в точке и точка называется точкой расходимости ряда (1).

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение. Степенным рядом с центром в точке 0, называется ряд вида (3), где – действительные числа.

Всякий степенной ряд сходится в своем центре при x=0.

16.2. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Теорема (Абеля). Если степенной ряд (3) сходится в точке , то он

сходится абсолютно при всех . Если степенной ряд расходится в

точке , то он расходится при всех .

Из теоремы Абеля вытекает, что область сходимости степенного ряда есть некоторый, симметричный относительно центра, промежуток.

О пределение. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда,

если степенной ряд (3) сходится для каждого и расходится для всех .

Для степенных рядов возможны три случая:

1) При R=0 ряд (3) сходится в единственной точке x=0. При каждом ряд расходится.

2) При ряд (3) сходится на всей числовой оси.

3) При ряд сходится для всех и расходится при . На концах интервала в точках x=-R и x=R степенной ряд может либо сходиться, либо расходиться. Эти точки дополнительного исследования.

Радиус сходимости ряда (3) определяется по формулам

или .

Теорема. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать, при этом радиус сходимости ряда не меняется. Вновь полученные ряды сходятся абсолютно на (-R;R).

Замечание. Сходимость ряда может измениться на концах интервала сходимости.

16.3. Определение ряда Тейлора. Ряд Маклорена.

Пусть функция y= в окрестности точки имеет непрерывные производные до (п+1) - го порядка включительно, тогда имеет место

формула Тейлора:

(4), где - остаточный член.

Если функция у= в окрестности точки бесконечно дифференцируема и , то получим ряд Тейлора

+… (5).

Если в ряде Тейлора =0. то полученный степенной ряд называется рядом Маклорена +… (6).

16.4. Разложение функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд.

Если бесконечно дифференцируема в окрестности точки и формально составленный степенной ряд для этой функции сходится и его сумма равна , то говорят, что разлагается в степенной ряд.

Теорема 1. Если функция разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Теорема 2. (необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд). Для того, чтобы разлагалась в степенной ряд, необходимо и достаточно, чтобы была бесконечно дифференцируема в окрестности точки и чтобы в формуле Тейлора (4) .

Теорема 3. (достаточное условие разложения функции). Если в окрестности точки функция бесконечно дифференцируема и все её производные ограничены по модулю сверху числом M, то есть ,

то функция разлагается в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена – степенные ряды, позволяют оценить ошибки в приближенных равенствах, получить приближенные равенства нового типа.