Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике семестр2.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
4.78 Mб
Скачать

11.2. Свойства определенного интеграла.

1)

2) , k=const

3)

4) , если - свойство аддитивности интеграла по мере

5) Интеграл от неотрицательной функции на [a;b] - неотрицательное число, то есть: если на [a;b], то - свойство знакопостоянства.

6 ) Если , то .

7) при a<b.

8) .

9)

11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

Рассмотрим функцию интегрируемую на [a;b].

Теорема 1. Пусть функция на [a;b] удовлетворяет условию , тогда .

Доказательство. Если , то по свойству 6 . Используя свойство 2 и 9 соответственно получим, что и .

Теорема 2. Пусть функция интегрируема на [a;b] и на этом отрезке выполняется неравенство , тогда существует число , для которого .

Доказательство. Из теоремы 1 следует , получим . В качестве возьмем число

, тогда .

Следствие из теоремы 2.

Е сли непрерывна на [a;b], то существует точка , для которой выполняется равенство , то есть площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со сторонами и .

Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.

12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.

12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

12.3. Методы интегрирования определенного интеграла

12.4. Геометрическое приложение определенного интеграла

12.5. Несобственный интеграл

12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.

Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом

Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом меньшем отрезке и следовательно для любого . Чтобы не смешивать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования, будем записывать его в виде .

Определение. Для функции , интегрируемой на , интеграл вида

, где , называется интегралом с переменным верхним пределом

интегрирования.

Рассмотрим функцию .

Теорема 1. Если интегрируема на , то непрерывна на .

Теорема 2. Если непрерывна на , то дифференцируема на и ее производная (иначе говоря: производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе интегрирования).

Доказательство. так как при вследствие непрерывности функции на по условию.

Следствие. Определенный интеграл с переменным верхним пределом функции является первообразной для функции .

12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Теорема. Пусть непрерывна на и какая-либо первообразная

для , тогда .

Доказательство. Так как - первообразная на по условию и первообразная для на по теореме 1, то . Будем поочередно считать и , тогда , т.е. - формула Ньютона-Лейбница.

Отметим еще два варианта формулы:

, .

Пример. .

12.3. Методы интегрирования определенного интеграла.

а) Метод непосредственного интегрирования определенного интеграла основан на применении таблицы интегралов, свойств интеграла, формулы Ньютона-Лейбница и элементарных преобразований подынтегральной функции.

Пример.

б) Метод интегрирования по частям.

Теорема. Пусть и имеют непрерывные производные на , тогда

в) Метод подстановки (замена переменной)

Теорема. Пусть непрерывна на , а функция имеет

непрерывную производную на и при значения , причем , , тогда .

Пример.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.