17.3. Линейная модель торговли.

Одним из примеров экономического процесса приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим соответственно x₁, x₂,…,x_n, расходуются на покупку товаров. Будем рассматривать линейную модель обмена или модель международной торговли.

Пусть – доля бюджета x_j, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и

вне её (можно это трактовать как торговый бюджет), то , .

Введем структурную матрицу торговли , сумма элементов её любого столбца равна единице.

Для i–й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли составит .

При условии сбалансированной (бездефицитной) торговли для каждой страны её бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. или , (11).

Докажем, что в условиях (11) не может быть знака неравенства. Сложим все неравенства при . Группируя слагаемые с величинами бюджетов x_j, получим:

Поскольку для , то , откуда возможен только знак равенства: , (12)

Для вектора бюджетов систему уравнений (12) можно записать в матричной форме .

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы A, отвечающий её собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид . Найти бюджеты первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговли, бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед..

Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению заданной структурной матрицы A, то есть решить уравнение , которое равносильно однородной системе:

~ ~ ~ ~ . Получили , откуда , .

По условию усл. ед., усл. ед., усл.ед. Ответ: бюджет первой страны x₁=1000 усл. ед., второй страны x₂=1200усл. ед.

Лекция 18. Модели общего экономического равновесия.

18.1.Простейшая модель экономического равновесия.

18.2.Паутинообразная модель

18.3.Модель Эванса

18.4.Модель Эрроу – Гурвица

18.5.Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

18.1. Простейшая модель экономического равновесия.

В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия, описываемую одним показателем y(t).

а) Опишем движение этой системы в непрерывном случае. Будем считать,

что скорость изменения показателя y(t) пропорциональна величине его отклонения от равновесного значения : , причем . Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет вид .

б) Поведение в дискретном времени может быть описано с помощью разностного уравнения, связывающего величины y в соседние моменты времени, то есть y(t) и y(t-1) при начальном условии . Решением этой задачи является функция .

Это решение может быть найдено как сумма общего решения для однородного уравнения и частного решения при t=0.