Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике семестр2.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
4.78 Mб
Скачать

12.4. Геометрические приложения определенного интеграла.

1 ) Вычисление площадей плоских фигур.

Если .

Если .

Е сли .

Если .

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически, то есть

, тогда .

2) Вычисление длин друг кривых.

Пусть кривая L задана явно, то есть , , тогда длина .

Если L задана параметрически , то .

3 ) Вычисление объемов тел вращения.

Пусть , . Будем вращать кривую вокруг оси 0X, тогда объем тела, полученного при вращении кривой, вычисляют по формуле

.

Если же кривую , вращать вокруг оси 0Y, то

.

12.5. Несобственные интегралы.

Р ассмотрим . Функция определена на конечном промежутке и ограничена на нем. Если нарушается хотя бы одно из двух требований, то мы имеем дело с несобственным интегралом.

1. Пусть нарушается требование конечности чисел a и (или) b. При этом возможны случаи:

1) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке , где .

Несобственным интегралом первого рода называется и обозначается , то есть (1).

Если предел в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и его значение равно пределу правой части. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

2 ) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке ,

Несобственный интеграл первого рода в этом случае определяется по формуле (2).

3) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном отрезке этого интервала, тогда (3), причем несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (3). Если хотя бы один из них расходится, то расходится интеграл в левой части.

Замечание. Если первообразная функции на , тогда справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница , где , .

Пример.

2. Пусть нарушается требование ограниченности функции .

1) Пусть функция непрерывна на и , тогда (4).

2) Если непрерывна на и , тогда (5).

Интегралы в левой части равенств (4) и (5) называются сходящимися, если в правой части этих равенств предел существует и конечен и значение несобственного интеграла равно пределу правой части. Если в правой части равенств (4) и (5) пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы в левой части этих формул называются расходящимися.

3 ) Если непрерывна на и , тогда (6).

Интеграл в левой части равенства (6) называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части этой формулы; и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части этой формулы.

Пример. Установить сходимость интеграла .

Так как и , то есть расходится, и потому данный интеграл расходится.

Лекция 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.

13.1. Определение дифференциального уравнения. Основные понятия.

13.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения.

13.3.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

13.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

13.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.