8.2. Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).

Н а практике часто возникает задача о наилучшем подборе эмпирических функций, позволяющих представить в аналитической форме данные статических наблюдений.

Рассмотрим случай, когда наблюдаются две величины x и y, между которыми предполагается наличие функциональной зависимости . Пусть многочлен имеет степень 1, то есть предполагается линейная зависимость между величинами x и y вида . Параметры a и b необходимо подобрать таким образом, чтобы прямая была расположена как можно ближе к точкам . Пусть – предполагаемое значение.

Если – отклонение экспериментальных точек от предполагаемой прямой, то …

Составим сумму квадратов отклонений .

Потребуем, чтобы эта сумма была наименьшей согласно необходимому условию существования экстремума функции двух переменных. Имеем .

С помощью последней системы, и, имея экспериментальные значения , можно вычислить a и b, что позволит устанавливать приближенную линейную зависимость . Для этого разделим обе части обоих уравнений на число наблюдений п. Получим

. Введём обозначения , тогда система примет вид , где ,

по формулам Крамера.

Пример 1. Пусть имеем данные о размерах покупок y и их розничной цене x

	14	12	15	14	18	20	16	12	10	13
	25	30	20	25	15	10	20	35	40	30

для некоторого товара. Составить уравнение спроса, пользуясь МНК.

Для удобства использования системы (1) составим таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	14	12	15	14	18	20	16	12	10	13	144
	15	30	20	20	15	10	20	15	40	30	215
	196	144	225	196	324	400	256	144	100	169	2154
	210	360	300	280	270	200	320	180	400	390	2910

Тогда , - уравнение спроса.

8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.

Пусть на некоторой фондовой бирже, начиная с некоторого времени t, через

равные промежутки времени регистрируются характеристики акций, обращающихся на данной бирже. Обозначим – стоимость одной акции компании в начале периода t, – сумма дивидендов, выплаченных по одной акции, тогда – доходность акций.

Портфель акций задается числом акций каждого вида, входящих в данный портфель, причем – доходность портфеля, где – доля акций в общей стоимости портфеля. Если – безрисковая ставка процента за период t, то – избыточная доходность акций j, – избыточная доходность портфеля p.

Применяя МНК найдем примерную линейную зависимость и от

избыточной доходности рыночного портфеля по формулам: , . Числа и – коэффициенты акций, которые характеризуют колебания их избыточной доходности и регулярно публикуются в «Финансовой газете». Указанные зависимости становятся устойчивыми при увеличении числа различных акций в портфеле. Этот эффект называется диверсификацией риска.