- •Часть 2
- •Содержание
- •Лекция 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •1.1. Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
- •1.2. Касательная и нормаль к графику функции.
- •1.3. Дифференцируемость и непрерывность.
- •1.1. Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
- •1.2. Касательная и нормаль к графику функции.
- •1.3. Дифференцируемость и непрерывность.
- •Лекция 2. Правила дифференцирования.
- •2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций
- •2.2. Производные обратной и сложной функций
- •2.3. Производные элементарных функций
- •2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.
- •2.2. Производные обратной и сложной функций.
- •2.3. Производные элементарных функций.
- •Лекция 3. Дифференциал функции.
- •3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
- •3.2.Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •3.1. Условие дифференцируемости функции в точке.
- •3.2. Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Лекция 4. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •4.1. Теорема Ферма.
- •4.2. Теорема Ролля.
- •4.3. Теорема Лагранжа.
- •4.4. Теорема Коши.
- •4.5. Правило Лопиталя.
- •4.6. Формула Тейлора.
- •Лекция 5. Применение производных к исследованию функций.
- •5.1. Условие монотонности функции. Определение максимума и минимума функции в точке.
- •5.2. Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной.
- •5.3. Достаточное условие существования экстремума функции одной переменной.
- •5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •5.5. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.
- •5.6. Асимптоты графика функции.
- •Лекция 6. Функции многих переменных.
- •6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.
- •6.2. Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.
- •6.3. Частные производные.
- •6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.
- •6.2. Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.
- •6.3. Частные производные.
- •Лекция 7. Дифференцируемость функции двух переменных.
- •7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных. Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
- •7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
- •7.3. Производная функции по направлению.
- •7.4. Градиент функции.
- •7.5. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
- •Лекция 8. Метод наименьших квадратов.
- •8.1. Метод наименьших квадратов
- •8.2.Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).
- •8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.
- •8.1. Метод наименьших квадратов.
- •8.2. Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).
- •8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.
- •Лекция 9. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •9.1.Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
- •9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций.
- •9.3. Основные методы интегрирования функций.
- •9.1. Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
- •9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства.
- •9.3. Основные методы интегрирования функций.
- •Лекция 10. Интегрирование некоторых классов функций.
- •10.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •10.2. Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби.
- •10.3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •10.4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки.
- •Лекция 11. Определенный интеграл.
- •11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
- •11.2. Свойства определенного интеграла.
- •11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций.
- •11.2. Свойства определенного интеграла.
- •11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.
- •12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
- •12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
- •12.3. Методы интегрирования определенного интеграла.
- •12.4. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •12.5. Несобственные интегралы.
- •Лекция 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •13.1. Определение дифференциального уравнения. Основные понятия.
- •13.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения.
- •13.3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- •13.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •13.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •14.1. Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.
- •14.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (фср). Теоремы об общем решении.
- •14.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •14.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.
- •Лекция 15. Числовые ряды.
- •15.1. Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
- •15.1. Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
- •Лекция 16. Степенные ряды. Функциональные ряды
- •16.1. Определение степенного ряда.
- •16.2. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •16.3. Определение ряда Тейлора. Ряд Маклорена.
- •16.4. Разложение функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд.
- •16.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
- •Раздел VIII.
- •Лекция 17. Модели межотраслевого баланса.
- •17.1. Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева.
- •17.2. Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •17.3. Линейная модель торговли.
- •17.1. Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева.
- •17.2. Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •17.3. Линейная модель торговли.
- •Лекция 18. Модели общего экономического равновесия.
- •18.1. Простейшая модель экономического равновесия.
- •18.2. Паутинообразная модель
- •18.3. Модель Эванса.
- •18.4. Модель Эрроу – Гурвица.
- •18.5. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
- •Лекция 19. Производственные функции и их характеристики.
- •19.1. Производственные функции и их основные характеристики.
- •19.2. Оптимальное распределение ресурсов.
- •19.3. Максимизация прибыли производства продукции.
- •19.4. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции.
- •Рекомендуемая литература.
Федеральное агентство по образованию
Сочинский государственный университет туризма и курортного дела
Факультет информационных технологий и математики
Высшая математика
Лекции по математике для студентов
в двух частях
Часть 2
Сочи-2009
ББК 22.1я73
УДК 517
Рекомендовано к печати кафедрой прикладной математики факультета информационных технологий и математики Сочинского государственного университета туризма и курортного дела
я 47
|
Яковенко Т.Ю., Якунина Н.Ф. Высшая математика. Лекции по математике для студентов в двух частях. Часть 2: учеб.пос./ Т.Ю. Яковенко, Н.Ф.Якунина. – Сочи, 2009. – 113 с. |
|
Предлагаемое учебное пособие содержит 19 лекций по основным разделам курса высшей математики, читаемым, как правило, студентам экономического, естественных и других факультетов во втором семестре. Лекции по курсу высшей математики отличаются от учебников по этому курсу простотой языка и динамикой изложения, сочетая, при этом, краткость с достаточным уровнем строгости и полноты подачей материала. |
JSBN 978-5-88702-298-7 ББК 22.1я73
УДК 517
© Яковенко Татьяна Юрьевна, 2009
© Якунина Наталья Федоровна, 2009
Содержание
От авторов 8
Предлагаемое учебное пособие содержит 19 лекций по основным разделам курса высшей математики, читаемым, как правило, студентам экономического, естественных и других факультетов во втором семестре. Лекции по курсу высшей математики отличаются от учебников по этому курсу простотой языка и динамикой изложения, сочетая, при этом, краткость с достаточным уровнем строгости и полноты подачей материала. 2
Лекция 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. 9
1.1. Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной. 9
1.2. Касательная и нормаль к графику функции. 10
1.3. Дифференцируемость и непрерывность. 11
Лекция 2. Правила дифференцирования. 11
2.1. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. 12
2.2. Производные обратной и сложной функций. 12
2.3. Производные элементарных функций. 13
Лекция 3. Дифференциал функции. 14
3.1. Условие дифференцируемости функции в точке. 14
3.2. Определение дифференциала, геометрический смысл и правила вычисления дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях. 15
3.3. Производные и дифференциалы высших порядков. 16
Лекция 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. 17
4.1. Теорема Ферма. 17
4.2. Теорема Ролля. 18
4.3. Теорема Лагранжа. 19
4.4. Теорема Коши. 20
4.5. Правило Лопиталя. 20
4.6. Формула Тейлора. 22
Лекция 5. Применение производных к исследованию функций. 22
5.1. Условие монотонности функции. Определение максимума и минимума функции в точке. 23
5.2. Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной. 24
5.3. Достаточное условие существования экстремума функции одной переменной. 25
5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 25
5.5. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба. 26
5.6. Асимптоты графика функции. 27
Лекция 6. Функции многих переменных. 28
6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции. 29
6.2. Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций. 29
6.3. Частные производные. 31
Лекция 7. Дифференцируемость функции двух переменных. 31
7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных. Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. 32
7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных. 33
7.3. Производная функции по направлению. 34
7.4. Градиент функции. 35
7.5. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов. 36
Лекция 8. Метод наименьших квадратов. 37
8.1. Метод наименьших квадратов. 37
8.2. Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости). 38
8.3. Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже. 40
Лекция 9. Интегральное исчисление функции одной переменной. 41
9.1. Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных. 41
9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства. 42
9.3. Основные методы интегрирования функций. 43
Лекция 10. Интегрирование некоторых классов функций. 45
10.1. Интегрирование простейших рациональных дробей. 45
10.2. Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби. 46
10.3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. 48
10.4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки. 49
Лекция 11. Определенный интеграл. 50
11.1. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Интегрируемость функций. 51
11.2. Свойства определенного интеграла. 52
11.3. Теорема о среднем значении определенного интеграла. 53
Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления. 54
12.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства. 54
12.2. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления. 56
12.3. Методы интегрирования определенного интеграла. 56
12.4. Геометрические приложения определенного интеграла. 57
12.5. Несобственные интегралы. 58
Лекция 13. Дифференциальные уравнения первого порядка. 60
13.1. Определение дифференциального уравнения. Основные понятия. 61
13.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения. 62
13.3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. 63
13.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 64
13.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 65
Лекция 14. Дифференциальные уравнения второго порядка. 67
14.1. Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия. 67
14.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (ФСР). Теоремы об общем решении. 68
14.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 69
14.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных. 71
Лекция 15. Числовые ряды. 73
15.1. Определение числового ряда. Сходимость рядов, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. 73
15.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (принцип сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера). Интегральный признак Коши-Маклорена. 76
15.3. Определение знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов. 78
Лекция 16. Степенные ряды. Функциональные ряды 80
16.1. Определение степенного ряда. 80
16.2. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. 81
16.3. Определение ряда Тейлора. Ряд Маклорена. 82
16.4. Разложение функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд. 83
16.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды. 83
Лекция 17. Модели межотраслевого баланса. 84
17.1. Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева. 85
17.2. Динамическая модель межотраслевого баланса. 88
17.3. Линейная модель торговли. 91
Лекция 18. Модели общего экономического равновесия. 92
18.1. Простейшая модель экономического равновесия. 93
18.2. Паутинообразная модель 93
18.3. Модель Эванса. 94
18.4. Модель Эрроу – Гурвица. 95
18.5. Модель рынка с прогнозируемыми ценами. 97
Лекция 19. Производственные функции и их характеристики. 100
19.1. Производственные функции и их основные характеристики. 100
19.2. Оптимальное распределение ресурсов. 103
19.3. Максимизация прибыли производства продукции. 104
19.4. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. 106
Рекомендуемая литература. 112
Посвящается Авджяну Аршавиру Семёновичу.
Уважаемый читатель! Книгой, которую ты держишь в руках, авторы попытались выразить глубокую признательность и любовь к человеку, являющемуся создателем курса лекций, который с некоторыми изменениями и дополнениями, читается до сегодняшнего дня студентам нашего университета. В книгу вошла базовая часть материала, читаемого во втором семестре. Авторы, продолжая традиции, заложенные Авджяном Аршавиром Семёновичем, надеются на то, что книга поможет вам в изучении математики.
Желаем успеха!