18.2. Паутинообразная модель
Понятие равновесия экономической системы характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов. Существует много моделей установления равновесной цены на рынке одного товара.
Паутинообразная модель.
Рассмотрим рынок с одним – единственным продуктом, спрос на который характеризуется убывающей функцией совокупного спроса d(p), а предложение – возрастающей функцией совокупного предложения S(p). Эти функции определены и непрерывны при p>0. Будем считать, что
С
остояние
равновесия характеризуется равенством
спроса и предложения
(1). Уравнение (1) имеет единственное
решение
,
так что равновесие
единственно.
Паутинообразная
модель позволяет реализовать процесс
“нащупывания” равновесной цены. Пусть
в начальный момент времени установлена
начальная цена
,
при этом
.
Понижаем цену до уровня, на котором
спрос равен предложению при первоначальной
цене
.
При новой цене
спрос превышает предложение
.
Повышаем цену
до уровня
,
при котором
и т.д.
Замечание.
Если график d(p)
вогнутый, а график S(p)
выпуклый, то описанный процесс сходится:
.
Если же график S(p) вогнутый, то процесс будет расходящимся, хотя имеется единственное решение уравнения .
18.3. Модель Эванса.
В модели рассматривается рынок одного товара. Время t считается непрерывным. Пусть p(t) – цена товара в момент времени t.
Предположим выполненными условия:
1)Спрос и предложение являются линейными функциями цены
(спрос с ростом
цены убывает)
(предложение с
ростом цены растет)
2)
(при
нулевой цене спрос превышает предложение)
3) изменение цены
пропорционально превышению спроса над
предложением
.
Взаимодействие потребителей и производителей происходит так, что отражающая это взаимодействия цена непрерывно приспосабливается к ситуации на рынке: если спрос превышает предложение, то цена растет, если спрос ниже предложения, то цена падает.
Относительно цены p(t) получим дифференциальное уравнение.
,
или
,
где
,
.
,
,
,
,
,
,
.
Окончательно,
,
.
Стационарная
равновесная цена
.
18.4. Модель Эрроу – Гурвица.
Рассмотрим модель функционирования рынка, основанную на теории общего равновесия. В качестве хозяйствующих субъектов, участвующих в процессе функционирования рынка, выберем два предприятия, каждое из которых располагая одним – единственным доступным им обоим ресурсом (например, трудом) производит по одному виду продукции конечного спроса и одного потребителя, предъявляющего этот спрос. Обмен осуществляется через единственного посредника – аукциониста.
Экономический цикл.
Введем обозначения:
- объем предложения
i-го
продукта i-м
предприятием,
- объем спроса со
стороны потребителя на i-й
продукт,
- предложение
ресурса (постоянная величина),
- объем спроса на
ресурс со стороны i-го
предприятия,
- производственная
функция i-го
предприятия,
- функция полезности
потребителя.
Проблема оптимального распределения ресурсов формулируется следующим образом:
1) Условия спроса
и предложения продукции:
.
2) Условия спроса
и предложения ресурсов
.
3) Функция полезности,
максимизируемая потребителем
Модель Эрроу – Гурвица – это постепенное приближение к решению описанной задачи путем интерактивного диалога (обмена информацией) между участниками процесса:
а) Аукционист
указывает i-му
предприятию цену на его продукцию
и цену ресурса
и сообщает потребителю цены
и цену спроса, равную предельной
полезности
,
.
б) Предприятие,
исходя из заданных цен
,
выбирает такое сочетание затрат и
результатов производства
,
которое максимизирует его прибыль
и представляет это сочетание на
рассмотрение аукциониста.
в) Потребитель
предъявляет спрос на i-й
продукт так: если на i-й
продукт спроса нет или если предельная
полезность потребления меньше предельных
затрат, то потребитель оставляет величину
спроса без изменений. В противном случае
он корректирует спрос пропорционально
разнице между предельной полезностью
и предельными затратами и в результате
указывает величину объема спроса
.
г) Аукционист, руководствуясь законом спроса и предложения, изменяет цены. Если спрос на продукт выше предложения, он поднимает цену и наоборот.
При решении задачи оптимального распределения ресурсов используется градиентный метод Эрроу – Гурвица, процесс сходится всегда к одному и тому же равновесному решению. После того, как установлены цены равновесия, все предприятия составляют планы производства, основанные на полном распределении труда.
Блок-схема модели Эрроу – Гурвица.
