Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике семестр2.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
4.78 Mб
Скачать

14.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного уравнения довольно сложная задача,

которая намного упрощается, если коэффициенты уравнения постоянны.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида (4), где p и q действительные числа.

Будем искать решение уравнения в виде функции . Для этого подставим выражения для , , в уравнение (4). Так как , , то Поскольку , то (5).

Определение. Алгебраическое уравнение (5) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения (4).

Пример.

Для уравнения , , характеристическими являются соответственно уравнения , , .

Вид общего решения дифференциального уравнения (4) зависит от корней соответствующего ему характеристического уравнения. Здесь возможны три случая:

1. , тогда - решения уравнения (4), причем линейно независимы и образуют ФСР. Следовательно по теореме о структуре общего решения - общее решение уравнения (4).

Пример. Для уравнения составим характеристическое

Уравнение . Его корни . Общее решение

уравнения имеет вид .

2. - единственное решение уравнения. Но для построения общего решения необходимо еще одно линейно независимое относительно решение, им является . Это можно проверить подстановкой в уравнение (4). Функции и являются линейно независимыми решениями и образуют ФСР, так как общее решение уравнения (4) имеет вид .

Пример. Для уравнения составим характеристическое уравнение . Его корни и общее решение исходного уравнения имеет вид .

3. Если , то характеристическое уравнение действительных корней не имеет, но y него есть два комлексно-сопряженных корня, которые вычисляются по формулам .Считая, что , получим , где - действительная часть корня, - мнимая часть корня. Корни , - комплексно-сопряженные. Общее решение уравнения (4) имеет вид .

Пример. Для уравнения характеристическое уравнение имеет и корни , при этом и общее решение имеет вид .

14.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом называется уравнение вида (6), где .

Рассмотрим два способа решения уравнения (6).

1. Метод вариации произвольной постоянной заключается в том, что сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения , где функции и образуют ФСР однородного уравнения (5). Общее решение уравнения (6) ищут в виде , где и - неизвестные функции. Тогда ( постоянные и заменяют на функции и ). Подберем и так, чтобы , тогда , . Подставим выражения для в (6), получим . Таким образом функции и должны удовлетворять системе (*). Решим эту систему относительно и . Проинтегрировав полученные решения системы, найдем и и составим общее решение в виде (2).

Пример. Решить уравнение

1) Составим и решим соответствующее однородное уравнение . Будем искать решение исходного уравнения в виде .

2) Составим и решим систему (*).

Тогда

.

То есть - общее решение.

2. Итак, (5) - однородное уравнение, соответствующее уравнению (6). Пусть y - общее решение уравнения (6), - общее решение однородного уравнения (5), частное решение неоднородного уравнения (6), тогда . При этом можно найти используя вопрос 3 лекции, а подбирается в зависимости от вида .

Пусть правая часть имеет вид (или фрагмент его), где и - многочлены соответственно степеней n и m с известными коэффициентами, и - заданные числа. При отыскании частного решения удобно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Возможные случаи:

- если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде , где , и - многочлены степени к, составлены с неопределенными коэффициентами без пропуска степеней. Коэффициенты определяются путем подстановки неизвестной функции y и ее производных в уравнение (6).

- если - корень характеристического уравнения кратности , то частное решение имеет вид .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.