Лекция 9. Интегральное исчисление функции одной переменной.
9.1.Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций.
9.3. Основные методы интегрирования функций.
9.1. Определение первообразной функции. Теорема о разности первообразных.
Основная задача дифференциального исчисления – нахождение производной и дифференциала функции. Основная задача интегрального исчисления – восстановление функции по ее производной. Одним из главных понятий интегрального исчисления является понятие первообразной.
Пусть функция определена на .
Определение.
Дифференцируемая функция
на
называется первообразной для функции
,
если
.
Пример. 1.
2.
Важно, что также
в примере 1:
,
так как
.
Теорема.
Любые две первообразные
и
одной и той же функции
,
заданной на
отличаются друг от друга на постоянное
слагаемое, то есть
.
Д
оказательство.
Рассмотрим функцию
.
По условию
Геометрически первообразная означает
кривую, угловой коэффициент касательной
к которой равен значению функции.
Множество всех первообразных представляют
семейство кривых, определяющихся
графиком
и сдвинутых относительно него на любую
константу.
9.2. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства.
Если – первообразная функции на , то для функции
первообразными
будет множество функций вида
.
Определение.
Совокупность всех первообразных функции
на интервале
называется неопределенным интегралом
от функции
на
и обозначается
.
Нахождение функции по ее производной называется интегрированием функции. Для проверки правильности интегрирования надо взять производную от полученного результата, при этом должна быть получена подынтегральная функция. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование. Рассмотрим основные линейные и нелинейные свойства неопределенного интеграла:
Доказательство
2.
.
Таблица неопределенных интегралов.
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
4.
,
5.
,
,
6.
,
,
7.
,
,
8.
,
9.
,
10.
,
.
9.3. Основные методы интегрирования функций.
а) Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах неопределенного интеграла, применении таблицы интегралов и элементарных преобразований функций.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
б) Интегрирование по частям.
Теорема.
Пусть
и
– две дифференцируемые функции на
,
тогда выполняется равенство
.
Доказательство.
Рассмотрим формулу
.
Интегрируя обе части равенства, получим
или
(*)
Эта формула
позволяет свести нахождение
к нахождению интеграла
,
который может оказаться более простым.
Замечания:
Формула (*) применима, если под интегралом одна из функций является алгебраической, другая – трансцендентной, причем если производная трансцендентной функции является также трансцендентной функцией, то за U принимают алгебраическую функцию, если же производная трансцендентной функции – алгебраическая функция, то за U принимают трансцендентную функцию.
За U обычно принимают функцию, которую трудно интегрировать.
Типы интегралов, берущихся по частям.
1)
–
многочлен, 2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
Интегралы 5 и 6
берутся применением формулы (*) дважды.
В результате получается уравнение
относительно исходного интеграла. Если
в формуле 6 за U
взята функция
,
то при повторном интегрировании за U
вновь принимаем
.
Пример.
в)
Интегрирование
методом замены переменной.
Теорема 1.
Пусть функция
непрерывна на
,
а функция
имеет непрерывную производную
на
,
причем при
значение
и существует обратная функция
,
тогда справедлива формула
(1).
Пример.
Частным случаем теоремы 1 является
Теорема 2.
Если
,
то
.
Формулой (1) пользуются и справа налево, тогда этот метод называется методом «подведения функции под знак дифференциала».
Пример.
1.
,
2.
.