Контрольные вопросы

1. Запишите выражение для силы трения и объясните смысл каждой величины в ней.

2. Укажите все силы, действующие на тело на наклонной плоскости.

3. Чем определяется величина коэффициента трения?

4. Сравните силы трения покоя и скольжения, скольжения и качения. В каких случаях трение меньше.

5. Что такое диссипация энергии и как она связана с законом сохранения энергии?

6. Выведите формулу (6.4) для расчёта коэффициента трения скольжения бруска по наклонной плоскости.

Используемая литература

[1] §15; [7] §8; [5] §3.3; [1] §15; [10] §2.10.

Лабораторная работа 1-07

Определение момента инерции тела с помощью наклонной плоскости

Цель работы: определение момента инерции тел с помощью наклонной плоскости

Теоретическое введение

Характеристики движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, могут быть определены из основного уравнения динамики вращательного движения

, (7.1)

где – момент инерции тела, – угловая скорость, – угловое ускорение, – полный момент внешних сил.

Уравнение (7.1) – это второй закон Ньютона для вращательного движения, аналогичный закону движения материальной точки: .

Определить момент инерции абсолютно твёрдого тела можно следующим образом. Все тело мысленно разбивается на совокупность маленьких частичек с массами ( – номер частиц), которые можно рассматривать как материальные точки с неизменными расстояниями между ними. При этом - масса всего тела. В результате задача сводится к задаче о вращении системы материальных точек вокруг оси. Из решения ее следует, что момент инерции тела определяется таким образом:

. (7.2)

Величина равна сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения . Вектор лежит в плоскости вращения массы и направлен от оси вращения к этой материальной точке. Из определения (7.2) видно, что задание полной массы тела еще ничего не говорит о величине его момента инерции , который зависит от того, как расположены различные части тела относительно той или иной оси.

В случае непрерывного распределения массы с плотностью сумма в (7.2) заменится на интеграл по всему объему тела. Каждый из элементарных объемов тела массой при переходе к бесконечно малым заменяем на , и, соответственно,

. (7.3)

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно оси представляет собой сложную задачу – необходимо знать, как плотность тела меняется от точки к точке . Если эта зависимость известна, тогда нужно вычислить тройной интеграл . Это несложно делать для однородных ( ) симметричных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс (центр тяжести). Далее будут приведены выражения для моментов инерции шара, цилиндра, пустотелого цилиндра.

В еличины моментов инерции чаще определяют из опыта. Рассмотрим, как это можно сделать, решая задачу о скатывании круглого однородного тела радиусом и массой без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту, с высоты (рис. 7.1) с использованием закона сохранения энергии.

Задача о скатывании – пример плоского движения твердого тела, т.е. движения, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Если ось вращения проведем через центр масс тела (точку О) перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела, то ось будет двигаться поступательно, оставаясь параллельной самой себе.

В этом случае кинетическую энергию твердого тела при плоском движении можно представить как энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела, и энергию поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс :

, (7.4)

здесь – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, – угловая скорость тела, – его масса.

Если тело скатывается с высоты , то в соответствии с законом сохранения энергии

. (7.5)

Центр масс тела движется равноускоренно под действием силы трения покоя и составляющей силы тяжести. Поэтому, если обозначим через длину наклонной плоскости ( ) и считаем, что тело движется с нулевой начальной скоростью, то

; , (7.6)

где – время движения тела по наклонной плоскости. Предполагается, что тело скатывается без скольжения, и поэтому линейная скорость точек соприкосновения тела с наклонной плоскостью равна нулю, так что скорость поступательного движения связана с угловой скоростью обычным соотношением . Если теперь подставить выражение для и (7.6) в (7.5) и решить это уравнение относительно , то получим

, . (7.7)

Это соотношение позволяет, измерив на опыте время скатывания тела , длину наклонной плоскости , высоту , массу тела и его диаметр , определить момент инерции. В то же время из (7.3) можно теоретически рассчитать моменты инерции шара, цилиндра и пустотелого цилиндра с внутренним и внешним радиусами и соответственно (см.(7.8)) и сравнить их с измеренными значениями.

. (7.8)

При решении задачи о качении тела предполагали, что силами трения качения можно пренебречь. Поэтому в законе сохранения энергии не учитывали работу этих сил трения. Сила же трения покоя (рис.7.1) как раз и создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс тела. В этом несложно убедиться, если получить выражение (7.7), используя не закон сохранения энергии (7.5), а решив систему уравнений для движения центра масс тела и вращательного движения

, (7.9)

. (7.10)

При этом нужно учесть связь ускорения поступательного движения цилиндра при скатывании с угловым ускорением (7.11) и уравнение кинематики равноускоренного движения (7.12):

, (7.11)

. (7.12)

В заключение найдем условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание при качении тела. Пусть наше тело – цилиндр. Для него момент инерции . Подставим (7.11) в уравнение (7.10), получим из него и из (7.9) выражение для сил трения

. (7.13)

Известно, что в отсутствии скольжения сила трения не должна превышать своего максимального значения (см. также работу 1-06):

, (7.14)

где -коэффициент трения покоя.

Так что условие непроскальзывания скатывающегося цилиндра:

. (7.15)

Именно под таким углом следует устанавливать наклонную плоскость при скатывании цилиндра для определения момента инерции.