6. Методика изучения общих свойств функции

Понятие функции, определение этого понятия, определение различных свойств вводятся на формально-логическом уровне в 9кл. Перед введением понятия функции в 9кл с учащимися нужно провести анализ уже изученного материала о функциях. Это можно сделать в форме беседы. Фрагмент этой беседы:

- «Математика изучает матем модели, большинство из них связаны с ф-ями. Проанализируем наш опыт работы с ф-ями. В 7кл изучали линейную ф-цию ,где -числа, х – независимая переменная, у – зависимая переменная. Далее устанавливали, что существуют реальные процессы, где выражается через по другой формуле. Например, , , х – независимая переменная, у – зависимая переменная. Таким образом, матем. моделью реального процесса является запись на матем. языке зависимости - функция. Второй существенный момент–указывается числовое мн-во, из которого берутся значения независ. перем-й х». Формулируется определение функции.

Опр. Если каждому значению х из некоторого множества Х поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х), при том х называют независимой переменной (аргументом), а у – зависимой переменной (функцией). (В учебнике Ш.А. Алимова и др.)

В учебнике выделяется 3способа задания функции:

а) аналитический, б) графический, в) табличный.

Основное внимание уделяется первым двум способам, поэтому о свойствах функций дальше говорится применительно к ним. Каждое свойство функции имеет определение и установление этого свойства у функции – это теорема, поэтому при разработке методики введения конкретного свойства следует использовать методику работы с определением понятия и теоремой.

Рассмотрим на примере анализа определения понятия чётной функции.

Опр. Функция y = f(x) на множестве М называется чётной, если для любого х из множества М выполняется равенство f(-x) = f(x).

1. Анализ формулировки. Определение дано в явно виде. Родовое понятие – функция. Видовые отличия: 1). Если х М, то -х М; 2). Выполняется равенство f(-x) = f(x). Кроме того, определение содержит квантор общности 9для любого х). Определение имеет конъюнктивную структуру. 2. Установление содержания понятия чётной функции и его объёма. График чётной функции симметричен относительно оси ординат, чётная функция не является монотонной, а значит, и обратимой. Все функции можно разделить на следующие группы: 1 – чётные функции, 2 – нечётные функции, 3 – функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными.

Существует одна функция, которая является одновременно и чётной и нечётной. Предположим, что y = f(x) является чётно, получаем равенство f(-x) = f(x). Предположим, что она нечётная, то: f(-x) = -f(x). Из последних двух равенств следует, что f(x) = -f(x), отсюда f(x) = 0. Таким образом, функция у = 0, графиком которой является ось абсцисс, является и чётной и нечётной.

3. Необходимость док-ва существования понятия чётной функции. К моменту введения понятия чётной функции ученики имеют примеры таких функций, в частности у = ах² + с. Следовательно, учащиеся могут сами доказать существование объектов, соответствующих определению чётной функции, методом приведения примеров изученных ранее функций.

4. Возможность переформулировки определения понятия. Функция чётная, то её график симметричен относительно оси ординат. Верно и обратное. Можно дать такое определение чётной функции: функция y = f(x) на множестве М является чётной, если её график симметричен относительно оси ординат. Это определение дано через графическую модель функции.

5. Конструирование возможных эвристик. Для того, чтобы доказать, что функция является чётной 

1 способ: убедится в истинности следующих условий: а) симметричность области определения относительно нуля; б). равенство значений функции для любых противоположных значений её аргумента.

2 способ: проверить симметричность графика функции относительно оси ординат

Если дана чётная функция, то:

1) множество чисел М симметрично относительно нуля

2) выполняется равенство f(-x) = f(x) для любого х из М

3) график этой функции симметричен оси ординат

4) функция не является монотонной

5) функция не является обратимой.

6. Отрицание определения. Чтобы доказать что функция не является чётной надо проверить одно из условий: отсутствие симметричности множества М относ. нуля

Или невыполнимость равенства f(-x) = f(x).

Мотивация к изучению общих свойств функций.

- Как мы ранее строили графики функций , или ?

Д: С помощью задания точек.

- Выясним насколько удобен такой способ построения. Например, построим график функции

х	-2	-1	0	1	2
у	3,4	2,2	1	-0,2	-1,4

- Отметим точки на координатной плоскости, то все они оказываются лежащими на одной прямой, но график данной функции не может быть прямой линией. Этот пример говорит о том, что способ построения графика функции по точкам очень не надежен, поэтому нужно научиться строить график функции на основе каких-то ее свойств. Возникает учебная задача: Выявить какими свойствами может обладать функция, открыть способы установления этих свойств и учиться строить графики функций на основе свойств.

- Как будем решать поставленную учебную задачу? Поскольку некоторые свойства функций ранее мы уже устанавливали по графику, то будем действовать аналогично.

Общий подход к изучению любого свойства.

Свойство выделяется по графику, анализируется, формулируется определение, выявляется способ его установления по аналитическому заданию функции, делаются соответствующие записи в таблице.

Схема исследования функции.

Наз. сво-ва	На аналитич. модели.	На граф. модели.
1. Область определения.	Опр. Мно-во всех значений, которые может принимать аргумент. Либо дана, либо значения х при котор. Есть смысл	Проекция графика на ось абсцисс.
2. Мно-во значений.	Опр. Мно-во значений, которые может принимать ф-ция. Найти все у, при которых y = f(x) имеет решение относительно х из области опред-ния.	Проекция графика на ось ординат.
3. Корни	Опр. Значения аргумента, при которых	Абсциссы точек
(нули)	значение функции равно 0. Необходимо решить уравнение f(x)=0	пересечения графика с Ох
4. Проме-тки знакопостоянства.	Опр. Множество значений аргумента, при которых значения функции положительны/отрицательны. Неравенства: f(x) > 0, f(x) < 0	Проекция на Ох частей графика, лежащих выше/ниже Ох
5. Промежутки возрастания/убывания (монотонность)	Опр. Ф-ция возрастает/убывает на промежутке Х из обл. опр-ния, если для любых 2-х значений х1 и х2 из Х, таких, что x1<x2, выполняется f(x1) < f(x2). Алгоритм нахождения: 1 – рассмотреть х1 и х2 из Х, x1<x2; 2 – найти f(x1) и f(x2); 3 – сравнить f(x1) и f(x2); 4 – сделать вывод.	Участки оси Ох, на которых при движении по графику слева направо идёт подъём/спуск.
6. Чётность /нечётность	Опр. Ф-ция y = f(x) наз. чётной/нечётной, если для любого х из обл. опр-ния вып. Равенство f(-x)=f(x)| f(-x)=-f(x). Алгоритм нахождения: 1 – проверить симмет-ть обл. опр-ния относ. 0; 2 – найти f(-x); 3 – сравнить f(-x) и f(x); 4 – сделать вывод.	График симметричен относительно оси ординат/ начала координат.
7. Ограниченность.	Опр. Ф-ция y = f(x) наз. огранич. снизу/сверху, если сущ. число М, такое, что для любого х из обл. опр-ния вып. неравенство: f(x) ≥M/f(x)≤M. Если ф-ция огранич. снизу и сверуху, то она наз. огранич-ой. (По мн-ву знач. ф-ции).	Существует горизонтальная прямая такая, что весь график расположен выше/ниже неё.
8. Н/м и н/б значение.	Опр. Число М наз н/м (н/б) значением ф-ции y = f(x), если существует х0 из обл. опр-ния, такое, что f(x0) = M, bи ля любого х из обл. орп-ния вып. неравенство f(x) ≥M/f(x)≤M. Можно установить по мно-ву знач. ф-ции.	Ордината низшей/высшей точки на графике.