3. Знания и умения школьников, связанные с понятием функции. Методика введения понятия функции

Знания и умения школьников связанные с понятием функции:

- определение или описание понятия функции (чётко даётся в 9 кл.);

- способы задания функций (аналитическое – формулой, табличное, графическое и словесное);

- понятие графика функции, работа с графиком;

Опр. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости (x, f(x)), абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Таким образом, чтобы установить, что некоторая линия является графиком функции y = f(x) необходимо проверить выполнение следующих 2-х условий:

1. если пара чисел (х; у) удовлетворяет равенству у = f(x), то точка с координатами (х; у) принадлежит этой линии;

2. если точа (х; у) принадлежит данной линии, то пара чисел (х; у) удовлетворяет равенству y = f(x).

Определение графика функции нужно чётко формировать у учащихся начиная с 7кл.

- свойства функций (область определения, множество значений и т.д.) изучаются на формально-логическом уровне в 9 кл.;

- преобразование графиков функций.

При любом способе задания функции ученики должны учиться выполнять 3 типа упражнений:

1. Выделить независимую и зависимую переменную.

2. По данному значению аргумента находить соответствующее ему значение функции.

3. о заданному значению функции находить соответствующее ему значение аргумента.

Пропедевтика введения понятия функции:

1). Выполнение заданий вида: «найти значение выражения при заданных значениях входящих в него букв». Выполняя такие задания целесообразно комментировать их решения по средством функциональной терминологии. Например, выражение (формула) позволяет сопоставить каждому конкретному значению буквы (переменной) единственное число (значение выражения), т.е. выражение 3m – 1 можно обозначить f(m) = 3m – 1, тогда получаем:

если m = 0, то f(0) = -1; если m = 1, то f(1) = 2 и т.д.

2). Изучение в 6 кл. понятия координатной плоскости, осей координат, координатных четвертей. Здесь выполняются упражнения 2-х видов:

- по координатам (паре чисел) строится точка;

- находятся координаты конкретной точки.

Выполняются также упражнения, формирующие графическую культуру школьников:

- указаны координаты точек. Назовите точки, лежащие на оси абсцисс, оси ординат, выше или ниже оси абсцисс, правее или левее оси ординат, в 1-ой координатной четверти, 2, 3, 4-ой;

- на координатной плоскости задана линия, найдите на линии точку, абсцисса которой равна заданному числу, укажите её ординату; найдите на линии точку, ордината которой равна заданному числу, укажите её абсциссу. Укажите х при которых у = 0, y . 0, y < 0, y – наибольшее (наименьшее).

Учащиеся также с удовольствием выполняют творческие задания виды: построить в системе координат и закодировать фигуру.

Методика ведения понятия функции.

Общеметодический подход к введению понятия функции и любого частного вида функций – решение конкретной практической задачи. В результате создаётся модель задачной ситуации, происходит её анализ и обобщение в форме определения или описания.

Опишем фрагмент урока, посвящённого введению понятия функции. И любого частного вида функций – решение конкретной практической задачи. В результате создаётся модель задачной ситуации, происходит её анализ и обобщение в форме определения и описания.

Опишем фрагмент урока, посвящённого введению понятия функции.

Задача 1. Поезд двигает из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью 120км/ч. Какой путь пройдёт поезд за t часов? Дано: V = 120км/ч, t Найти: S Решение:

Задача 2. Поезд двигается из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью 120км/ч. За сколько часов поезд пройдёт S км? Дано: V = 120 км/ч, S Найти: t Решение:

S = Vt S = 120t (км) - На каком расстоянии от Москвы будет находится поезд через 1ч? t = 1ч, S = 120 км t = 0,5ч, S = 60 км и т.д. - Какие величины изменяются в данной формуле? S и t - Какая величина изменяется в зависимости от другой величины? S Появляются записи: S и t – переменные, t – независимая, S – зависимая. - Зависимая переменная называется функцией. - Зависимость переменной S от переменной t называют функциональной зависимостью. Чтобы подчеркнуть, что S зависит от t пишут: S(t) Например: S(t) = 120t, S(1) = 120, S(0,5) = 60 и т.д. - Можно ли выяснить какие значения пробегает t, если известно, что расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга 600км? - Итак, имеем S(t) – функция, правило вычисления пути по заданному значению времени t.

S = Vt t = S/V t = S/120 (ч), t = 1/120∙S - За какое время поезд отойдёт от Москвы на расстояние 180 км, 300 км и т.д. S = 180 км, t = 1,5 ч S = 360 км, t = 3 ч и т.д. - Какие величины изменяются данной формуле? S и t - Какая величина изменяется в зависимости от другой величины? t Появляются записи: S и t – переменные, S – независимая, t – зависимая (функция). - Имеем функциональную зависимость t(S) Например: t(S) = 1/120∙S, t(180) = 5, t(360) = 3 и т.д. - В каких пределах изменяется S? - Имеем t(S) – функция, правило вычисления времени по заданному значению пути S.

- Обычно в математике независимые переменные обозначают буквой х, зависимые – у. Тогда пишут у(х) – это правило, которое каждому числу х сопоставляет одно определённое число у. Это функция.

Например: дана функция

При х = 2 у = 4; при х = 0,3 у(0,3) = 0,09 и т.д.

у(2), у(0,3) – значения функции при заданных значениях аргумента х.

Далее выполняются упражнения трёх ранее указанных типов. Упражнения выполняются на функциях заданных формулой.

На следующем уроке рассматриваются другие способы задания функций, понятие графика функции. Обязательно решаются упражнения трёх указанных ранее типов для каждого из способов задания функции. Графиком функции может оказаться как сплошная линия, так и множество отдельных точек.