25. Логические основы решения уравнений и неравенств в старших классах. Методические рекомендации к изучению понятий равносильные уравнения, уравнения – следствия, теорем о равносильности уравнений

Известно, что уравнения и неравенства пронизывают весь курс математики начиная с начальной школы. Это объясняется тем, что:

1. Уравнения и неравенства – это математический аппарат, который позволяет изучать реальную действительность, т.е. это математическая модель, описывающая явления реальной действительности, поэтому изучение уравнений и неравенств позволяет познавать учащимися сущность предмета математики, ее связь с действительностью и на доступных учащимся задачах обосновать метод математического моделирования. Выделение роли уравнений и неравенств отрицает гуманитарный аспект математического содержания.

2. Уравнения и неравенства широко используются в других отделах математики, в частности, при изучении свойств функций: нахождение ооф, их корней, промежутков значений, промежутков знакопостоянства и т.д.

Теоретические основы изучения уравнений и неравенств заключаются в следующих основных методологических понятиях: Что такое уравнение или неравенство; Корень уравнения, решение неравенства; Что значит решить уравнение или неравенство; В чем заключается процесс решения уравнений и неравенств; Равносильные уравнения и неравенства.

В математике как науке существует несколько подходов к определению понятия уравнение:

1. Функциональный Уравнение – это аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называют корнями уравнения

2. С точки зрения высшей алгебры. Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений.

Например, алгебраическим уравнением с одним неизвестным является уравнение вида: a₀xⁿ + a₁x^n-1 + …+a_n-1x+a_n = 0 , где a₀0, a_iC, n –степень алгебраического уравнения.

3. Логико-математическое определение. Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х – переменная на множестве М. тогда

уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида А(х)=В(х), где А(х) и В(х) – термы (выражения) относительно заданных операций, в запись которых входит символ х.

В школьных учебниках математики существует два подхода введения понятия «уравнение»:

Теоретико-множественный подход (А.Н. Колмогоров)	Теоретико-числовой подход (Ш.А. Алимов и др.)
Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.	Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением
Значение переменной, при котором равенство обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения	Корень уравнения – это значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство
Решить уравнение – найти множество его корней	Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет

Когда будет введено понятие функции и изучена линейная функция, можно ввести функциональное определение уравнения (см. выше). Процесс решения уравнения состоит в замене одного уравнения другим, более простым. И такой процесс продолжается до тех пор, пока не получено простейшее уравнение, решение которого известно. Замена одного уравнения другим называется преобразованием уравнения, а это связано с понятием равносильности уравнений, уравнений следствия.

В школе выделяются 3 этапа знакомства учащихся с теорией равносильностей:

1. Индуктивный путь – начальная школа и 5-6 классы. В них уравнения решаются на основе зависимости между компонентами и результатами действий. Например, 5+х=7, х=7-5. В конце 6 класса, когда изучены рациональные числа, появляется возможность решать уравнения, когда неизвестные содержатся и в левой, и в правой частях уравнения. Перенос членов уравнений из одной части в другую осуществляется на основе свойств, которые устанавливаются опытным путем:

а) К обеим частям уравнения можно добавить одно и то же выражение

б) Можно умножать или делить обе части уравнения на одно и то же выражение, не равное 0

2. Дедуктивный путь. В 7 классе устанавливаются свойства уравнений на основе свойств числовых равенств. На основе этих свойств решаются уравнения в 7-9 классах.

3. Этап – вводится понятие равносильности уравнений (9 или 10 класс)

Схема изучения уравнений и неравенств

Актуализация знанийЗадача-мотив с историческим или практическим содержанием. Появляются уравнения (неравенства) нового вида. Вводится термин, формулируется цель урока, тема. Дается определениеОткрывается способ решения, т.е. конструируется алгоритмСистема упражнений на осознание и осмысление способа решенияРешение текстовых задачРешение задач по теме, в т.ч. с параметрами.

Основные учебные задачи тем, посвященных изучению уравнений

1. Формирование у школьников представлений о предмете математики, ее связи с действительностью, о математических моделях и математическом моделировании.

2. Формирование математической логической культуры школьников, связанной с осознанием или понятием уравнения, корня уравнения, что значит решить уравнение, свойства уравнений.

3. выявление нового типа уравнений в ходе решения задачи или на основе конструирования

4. Нахождение способов решения нового типа уравнений, некоторые методические рекомендации для изучения линейных и квадратных уравнений

Уже в 9 кл появляются иррациональные уравнения, в процессе решения которых можно придти к уравнению-следствию, т.е. фактически уже здесь появляется необходимость введения понятий: равносильность уравнений (неравенств) и переход к уравнению (неравенству)-следствию. Поэтому учителю в любом случае нужно будет рассказывать эти понятия учащимся.

Теорем о равносильности уравнений и неравенств достаточно много. Учитель в зависимости от уровня класса будет сам определять какие теоремы рассказывать, какие нет. Но каждую теорему нужно подробно иллюстрировать примерами. Самое главное избежать потери корней.

Можно выделить 3 этапа в обучении учащихся решению любого вида уравнений и неравенств:

1) Решение простых уравнений и неравенств. Сначала в общем виде, а затем на частных примерах, рассматривается решение простейших неравенств и уравнений. Идёт их обработка.

Например, в теме логарифмические уравнения и неравенства простейшими следует считать: log_af(a) < b, log_f(a)a > b, log_af(a) < log_ag(a).

Можно вводить в др. последовательности: сначала частные примеры, потом общие выводить.

2) Выделение типов уравнений какого-либо данного вида и общих (спец.) приемов (методов) их решения.

К общ методам относятся след. – метод разложения на множители; - метод введения вспомогательной переменной, - функ-граф метод ( использование св-в функции и графика функции). Спец.приемы: - логарифмирование, - использование св-в логарифмов, триг формул. Чаще

всего для выделения типов ур-ий и нер-в и методов их решения используются шк лекции, как урок решения ключ.задач. Записи можно вести в 2 колонки, если параллельно изучаются ур-я и нер-ва. На этапе осознания и осмысления изученного материала, должна быть предложена серия неслож. ур-й и нер-в, по внеш.виду которых можно установить к какому типу они относятся и каким методом решаются. 3) Формирования умения решать разл. ур-ния и нер-ва. Это осуществляется на уроках практикумах. Их должно быть несколько и они должны включать несколько видов работ.