29. Методика введения понятия производной функции

По какому бы учебнику не изучалась данная тема, нужно помнить, что даже в

Математическом классе изложить ее корректно не удается, следовательно, рассмотрим некоторые общие методические рекомендации, подходящие для изучения по любому учебнику, с любой степенью строгости изложения материала.

1) При введении каждого понятия надо вводить мотивацию. Например, предлагаем учащимся построить график функции .

Строим таблицу

х	-2	-1	0	1	2
у	3,4	2,2	1	-0,2	-1,4

Все полученные точки, оказываются лежащими на одной прямой, но график этой ф-ии не может быть прямой, т.к. прямая - график линейной ф-ии. Тогда нужно исследовать ф-ию на свойства или использовать преобразования, но это не удается осуществить. Возникает проблемная ситуация.

Учитель предлагает рассмотреть график другой ф-ии.

На графике есть особые точки, с абсциссами х₁, х₂,...,х₅, которые характеризуют поведение графика. Нужно научится находить эти точки. Возникает учебная задача: «найти средства для исследования ф-ии на св-ва, для нахождения ее особых точек».

2) теоремы, на к-ых основывается выявление тех или иных св-в функций, в учебниках приводятся зачастую без корректного док-ва, следовательно, восприятие этих теорем будет более осознанным, если в их «открытии примут участие сами учащиеся. Это можно достичь, используя геометрические интерпретации (графики). Док-ва должны представлять собой правдоподобные рассуждения, но не будут до конца логически обоснованными.

Перед введением понятия производной повторяется понятие предела ф-ии в точке. Если определение предела не вводилось, то учителю следует провести следующую беседу.

- Пусть задана некая переменная х и ее значение уменьшается, приближаясь к 0, это записывается так: x→0 или .

К чему стремятся значения ф-ии y = 3x при x→0 (y→0)

К чему стремятся значения ф-ии у = 2х+1 при x→0?

Далее учитель проводит рассуждение: «известно, что существует зависимость между скоростью движения тела v и пройденным за время t расстоянием s(t). Очень часто скорость движения тела не является постоянной величиной, т.е. тоже явл. ф-ей от t. На практике возникает задача нахождения средней скорости движения на указанном промежутке t₁ < t < t₂. Она находится по формуле: .

Но для решения самых различных задач бывает недостаточно знать только ср. скорость на промежутке. Важно уметь определять ее в каждый конкретный момент времени.

Рассм. пример: тело движется по закону S(t) = 3t-2. Нужно найти сред. скорость и мгновенную скорость на [t, t+h] , h - малый промежуток времени.

Решение:

.

- В данном примере ср. скорость независимо от t и h имеет одно и то же значение, равное 3. Поэтому Vмг = Vср = 3. Но это выполняется не всегда. Рассм. пример 2: тело движется по закону S(t) = 5t²+t . Найти ср. скорость и мгновенную скорость на [t, t+h]. Решение задачи будем вносить в канву таблицы, заголовок которой появится позднее.

S(t) = 5t2+t	y=f(x) определена на х	Алгоритм
1). , h – малое 2). S(t) = 5t2+t S(t+h) = 5(t+h)2 = = 5t2+10th+5h2+t+h	1) где h→0, h – малое (h – приращение аргумента). 2) f(x) = …	1). Зафиксировать х, x + h из данного промежутка, где h≠0, h – малое. 2). Найти значение функции в точках х и x+h.
3) S(t+h) – S(t) = 5t2 + 10th + 5h2 + t + h – 5t2 – t = 10th + 5h2 + h 4) = Vср зависит от t и h, поэтому чтобы найти Vмгн нужно рассмотреть (t+h)→t при h→0 5). Если h→0, то Vср→ Vмгн = 10t + 1 Vмгн – производная пути по времени.	f(x+h)=… 3). f(x+h) – f(x) = ∆f(…) – приращение функции. 4). - разностное отношение. 5). Если он существует про h→0? То обозначают f ’(x) = и называют производной функции в т. х	3). Найти приращение функции, т.е. разность значений функции в т. х и x+h. 4). Составьте разностное отношение. 5). Найти, если существует, предел разностного отношения при h→0.

- Vcp зависит от t и h, поэтому чтобы найти Vмг, нужно рассм. h→0, т.е. t+h→t. Этот предел называется производной пути по времени. В математике отвлекаются от конкретного содержания задачи и строят общую матем. модель. Чтобы в данном случае построить такую модель, все аналогичные рассуждения проведем для ф-ии общего вида y = f(x). Т.е. ставится задача описания понятия скорости изменения ф-ии. Четко формулируется определение производной ф-ии

Опр. Пусть ф-ия f(x) определена на некотор. промежутке, x – это точка этого промежутка и число h≠0, такое, что x+h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения при h→0 называется производной ф-ии f(x) в точке x и обозначается f ‘ (x).

Появляется заголовок таблицы: «Производная функции в точке» и заполняется 3-ий столбец: последовательность действий для нахождения производной.

Вводя понятие производной мы одновременно расм. и ее физический смысл (смотри 1 столбец таблицы).

Далее, вводится понятие ф-ии дифференцируемой в точке, дается название этому действию - дифференцирование, делается вывод, если ф-ия имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

Если функция f(x) bимет производную в т. х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Опр. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

Далее вводятся правила дифференцирования, изучается геометрический смысл производной. В учебниках др. авторов(не Алимова) уже в начале изучения темы рассм. понятие касательной к кривой в точке и выясняется геометрич. смысл производной.