Глава 4, §§14-16.

Программа по математике:

Основная цель: дать понятия об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида. При изучении темы вводится понятие последовательности, разъясняется смысл термина «n-й» член последовательности», вырабатывается умение использовать индексное обозначение. Эти сведения носят вспомогательный характер и используются для изучения арифметической и геометрической прогрессий. Работа с формулами n-го члена и суммы первых n членов прогрессий, помимо своего основного назначения, позволяет неоднократно возвращаться к вычислениям, тождественным преобразованиям, решению уравнений, неравенств, систем. Рассматриваются характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, что позволяет расширить круг предлагаемых задач.

Дидактические единицы:

• Определение:

  • Числовая последовательность: вводится через род и видовое отличие (род – функция, видовые отличия - функции натурального аргумента)

  • Арифметическая прогрессия: вводится через род и видовое отличие(индуктивно); (род – числовая последовательность, видовые отличие - каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d);

  • Геометрическая прогрессия: вводится через род и видовое отличие(индуктивно); (род – числовая последовательность, видовое отличие – каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число q 0);

  • Рассматриваются следующие способы задания числовых последовательностей: аналитический, словесный, рекуррентный, вводятся конструктивно

  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия? ??? В учебнике А.Г. Мордковича как в обычном так и в углубленном не рассматривается

• Свойства:

  • Последовательность (y_n) называется возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего (следует из понятия монотонности числовой функции);

  • Последовательность (y_n) называется убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего (следует из понятия монотонности числовой функции);

  • Характеристическое свойство арифметической прогрессии: Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов(формулировка условная, теорема сложная. Свойство: Если каждый член числовой последовательности, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. Признак: Если числовая последовательность является арифметической прогрессией, то каждый ее член, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Доказательство с помощью определения арифметической прогрессии)

  • Характеристическое свойство геометрической прогрессии: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. (Формулировка условная, теорема сложная. Свойство: Если квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией. Признак: Если числовая последовательность является геометрической прогрессией, то квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. Доказательство с помощью определения геометрической прогрессии и ранее доказанного характеристического свойства арифметической прогрессии)

• Формула n-го члена

  • Арифметической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательство методом математической индукции на основе определения арифметической прогрессии)

  • Геометрической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательство методомматематической индукции на основе определения геометрической прогрессии)

• Формула суммы nпервых членов:

  • Арифметической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательства с помощью определения арифметической прогрессии, понятия суммы, способ сложения 2 выражений) Другая формула суммы: получена из предыдущей с помощью подстановки формулы n-го члена

  • Геометрической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательство с помощью определения геометрической прогрессии, понятия суммы, тождественные преобразования)

Выводы: в теме закладываются методологические основы, поэтому основное внимание должно быть направлено на решение задач. Основная работа при изучении определений: сформировать действия подведения под понятие и выведение следствий. В учебнике Мордковича каждая формула и теорема подробно доказывается вводиться названия метода математической индукции. Вывод формул n-го члена не сложении для восприятия учащихся и они под руководством учителя могут открыть их самостоятельно. Целесообразно работу по изучению прогрессий вести методом УДЕ, так как в теме присутствует аналогия не только в определениях, но и в формулах, свойствах. Лучше сначала изучит характеристическое свойство прогрессий, а затем вывести формулу суммы. Так же учащемся можно предложить самостоятельно подготовить различные исторические, известные задачи на прогрессии (пример Задача о зернах). Это тема важна, так как прогрессии являются важной математической моделью процессов реальной действительности.

Б) Анализ задачного материала

Задачник:А.Г. Мордкович, Алгебра 9. – М.: Мнемозина, 2002.