1. Мотивационно-ориентировочный этап
Актуализация:
Ученикам дается предворяющее домашнее задание:
Решить графически уравнение: 2х=32. В начале урока ученик оформляет его решение на доске, а в это время остальные учащиеся решают уравнения 1)х=25 2)х5=32:
- решим уравнения 1)х=25 2)х5=32. Какие действия выполняли при решении данных уравнений? (возведение в пятую степень и извлечение ариф. корня пятой степени).
- как взаимосвязаны эти два действия? (извлечение корня является обратным действием для возведения в степень и наоборот).
Далее оформляется решение уравнения: 2х=32 (Решением уравнения является х=5)
- как вы думаете, любое ли показательное уравнение можно решить графически? (Да)
- почему? (любой точке графика функции у= 2х соответствует свое значение х),
-
каким может быть х? (
)
- Попробуйте решить аналогично уравнение 2х =30. (пытаются по графику определить значение х при у=30, не могут найти точное значение).
- мы выяснили, что любое уравнение такого вида имеет решение, значит и в этом уравнении корень есть.
Мотивация.
- Заметим, что эти уравнения показывают взаимосвязь чисел 2, 5, 32 при помощи операций возведения в степень и извлечения корня. Можно предположить, что существует третья операция, связывающая эти числа, связанная с предыдущими действиями, с помощью которой можно выразить число 5, то есть решить уравнение 2х=32. можем ли мы решить это уравнение известными способами, кроме графического? (Нет)
Постановка учебной задачи: целью сегодняшнего урока будет открыть новое действие, которое связывает три числа и позволяющее выражать степень х в уравнении вида ах=в, где а>0, а≠1. А также выявить свойства этого действия.
2. Содержательный этап.
- этим действием будет действие нахождения логарифма. В данном уравнении 2х=32 ответ запишется в виде х=log232. Как вы думаете, что называется логарифмом? (показатель степени в уравнении 2х=32.
- верно. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить в.
- запишем тему урока. Запишем определение логарифма в символьной форме:
logab=c <=> 1)a>0, 2)b>0, 3) а≠1 4)ac=b
- как будет выглядеть решение уравнения 2х=30? ( x= log230)
- Решим примеры: log 28. Давайте решим его, воспользовавшись определением
(проверим условия: 1)2>0 2)8>0 3)2≠1 Логарифм существует. Найдем его значение: log 28=3, так как 23=8.
- Решим следующий пример: log 31/9
- Давайте рассмотрим следующий пример: log 12 ( 1).1>0; 2). 2>0; 3). 1≠1????неверно
Одно из условий определения логарифма не выполняется, логарифм не существует. Нельзя найти его значение).
Пример: log 2(-4)
Из определения логарифма следует выполнимость тождества
-
это основное логарифмическое тождество.
Оно является первым свойством логарифмов.
- рассмотрим некоторые частные случаи логарифмов, которые можно отнести к свойствам: 1). log аа; 2). log а1
При каких условия существуют эти логарифмы? (а>0,a≠1)
- вычислите эти логарифмы.1) log аа=1 2) log а1=0
- действие нахождения логарифма называется логарифмированием. Оно является обратным действию возведения с степень и извлечения корня.
- решим примеры: (один ученик работает у доски, остальные в тетрадях)
1.
Вычислить: 1).
;
2).
2.
Решить уравнение:
3.
Выяснить, при каких значениях х существует
логарифм
4. Вычислить.
1)
2)
3)
4)
5)
Ученики затрудняются в решении последнего выражения, возникает проблемная ситуация.
- Давайте обратим внимание на последние примеры. Какая возникает зависимость? (Ответ и в первом и во втором примере равен 3)
-
Значит, мы можем записать следующим
образом
- Какой можно сделать вывод? (Логарифм произведения равен сумме логарифмов).
В общем виде это записывается таким образом:
Пусть
a > 0, a≠1,
b > 0, c >
0 справедливо:
- Вернемся к примеру 5 и решим его с помощью свойства суммы логарифмов.
- Давайте докажем полученное свойство.
Дано: а>0, a≠1, b>0 и c>0
Доказать:
Доказательство:1)
,
(по основному логарифмическому тождеству)
2)
3)
(по свойству степени)
4)прологарифмировав по основанию а, получим:
Примеры. Вычислить:
1)
2)
3)
(2 способа)