1 Группа.
А)
;
Б)
;
В)
;
Г)
;
Д)
Решение.
А) ; (разложение на множители)
Делители
свободного члена:
,
- корень уравнения
Нет действительных корней.
Ответ:
Б) (По свойствам функций)
Данное
уравнение можно заменить равносильным
ему уравнением
,
т.к. функция
является монотонно-возрастающей.
Ответ:
,
В) (метод введения новой переменной)
Пусть
,
тогда получим, что
,
а такого быть не может. Значит,
,
,
Ответ:
.
Г) (функционально-графический метод)
Ответ:
Д) (метод введения новой переменной)
ОДЗ:
Преобразуем левую часть неравенства следующим образом
.Получаем
неравенство вида:
Делаем
замену:
.
Тогда получаем следующее уравнение:
Решаем
его методом интервалов. Для этого найдем
корни уравнения
.
Ими будут:
.
Отмечаем эти точки на числовой прямой
и проверяем знак уравнения на каждом
интервале.
Решением
неравенства будет множество
.Переходим
обратно к замене, получаем:
Ответ:
2 Группа.
А)
;
Б)
;
В)
;
Г)
;
Д)
Решение.
А) (метод разложения на множители)
Ответ:
,
Б) (По свойствам функций)
Так
как функция
является монотонно-убывающей, то данное
уравнение можно заменить уравнением:
Ответ: нет решений.
В) (метод введения новой переменной)
Ответ:
Г) (функционально-графический метод)
Ответ:
Д) (метод разложения на множители)
Заменим
7x=6x+x,
тогда получаем
=0
x(
x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0
(x-1)(x(x+1)-6)=0
(x-1)(
Далее решаем совокупность уравнений:
x-1=0 , x=1
(
x=2, x=-3
Ответ: [-3;1] и [2; +∞)
3 Группа.
А)
;
Б)
;
В)
;
Г)
;
Д)
Решение.
А) (метод введения новой переменной)
ОДЗ:
Ответ:
,
.
Б) (метод разложения на множители)
Ответ:
В) (По свойствам функций)
Так как функция является монотонно-возрастающей, то данное уравнение можно свести к уравнению:
Ответ:
Г) (функционально-графический метод)
Ответ: x=1.
Д) (функционально-графический метод)
Ответ:
4 группа.
А)
;
Б)
;
В)
;
Г)
;
Д)
Решение.
А) ; (метод введения новой переменной)
ОДЗ:
Ответ:
,
.
Б) ; (метод введения новой переменной)
Ответ:
,
.
В) (метод разложения на множители)
Ответ:
Г) (По свойствам функций)
Данное уравнение нельзя свести к уравнению 2x+2=5x-9, т.к. функция у=x4 не является монотонной. При таком переходе теряется корень x=1.
Д) (функционально-графический метод)
Ответ:
Мотивационно- ориентировочный этап
1). Актуализация
- На протяжении нескольких годов мы изучали различные виды уравнений и неравенств, а также рассматривали различные методы и приемы к решению уравнений и неравенств.Все уравнения можно разбить на две группы: алгебраические и трансцендентные. На прошлом уроке каждой группе учеников было задано домашнее задание: решить уравнения и неравенства, указать метод их решения, сделать презентацию. Какие виды алгебраических (трансцендентных) уравнений вы встретили в домашней работе? (представители от каждой группы называют виды, по ходу ответов учеников появляется следующая схема).
-также вам было выдано задание: определить методы решения тех или иных уравнений и неравенств. (представитель от группы указывает и объясняет решение уравнений и неравенств по подготовленной презентации).
В итоге ответов учащихся появляется следующая таблица.
По свойствам функций |
Разложение на множители |
Введение новой переменной |
Функционально-графический |
-показательные -логариф-кие -иррациональные - степенные |
-рациональные -тригоном-кие -показательные -иррациональные |
-рациональные -иррациональные -показательные -логарифм-кие -тригоном-кие |
Смешанные (можно решать почти любые виды уравнений, но главный недостаток – нельзя точно определить корень) |
2). Мотивация
- В ходе проверки домашнего задания мы с вами вспомнили основные методы решения уравнения и неравенств, поэтому на уроке мы с вами поговорим о них поподробнее. Ребята, поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений». (Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение. Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.)
- На протяжении изучения школьного курса алгебры вы познакомились и изучили различные виды уравнений и неравенств, рассмотрели различные способы их решений. Впереди вам предстоит сдача экзамена в форме ЕГЭ, написание контрольной работы, поэтому необходимо повторить и структурировать все имеющие знания по общим методам решения уравнений и неравенств.
- Исходя из выше сказанного как бы вы сформулировали учебную задачу?
Учебная задача: обобщить и систематизировать основные методы и приемы решения уравнений и неравенств. Содержательный этап - А теперь вспомните какие методы и приемы вы применяли при решении различных видов уравнений?( Ученики называют методы: метод разложения на множители, метод замены переменной, по свойствам функций, функционально- графический) Вам каждому выдана канва- таблица, которую мы будем заполнять по ходу урока. - Первый метод мы назвали метод замены уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x). (Заполняется таблица)
Данный метод мы применяли:
при решении показательных уравнений, когда переходим от уравнения af(x)=ag(x) (a>0, a≠1) к уравнению ;
при решении логарифмических уравнений ,когда переходим от уравнения logaf(x)=logag(x) к уравнению f(x)=g(x);
при
решении иррациональных уравнений, когда
переходим от уравнения
к
уравнению f(x)=g(x).
при решении степенных уравнений.
-Данный метод применим только в том случае, когда функция y=h(x)- монотонная, которая каждое свое значение принимает только один раз.
Например,
Функция y=x7- монотонно- возрастающая функция, поэтому от данного уравнения можно перейти к уравнению вида 2x+2=5x-9? Откуда x=11/3. Расширения ОДЗ здесь не произошло, значит это- равносильное преобразование уравнения.
Если y=h(x)- немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней!
Например,
Решаем: 2х+2=5х-9
3х=11
Х=11/3.
Но
у нас теряется корень х=1, подставим его
в исходное уравнение:
– верное.
Данное уравнение нельзя свести к уравнению 2x+2=5x-9, т.к. функция у=x4 не является монотонной. При таком переходе теряется корень x=1.
- Второй метод- метод разложения на множители.
Суть
метода заключается в том, что уравнение
можно заменить совокупностью уравнений:
Решив ур-я этой совокупности нужно взять те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного ур-я, остальные отбросить как посторонние. Нужна обязательно проверка или учет ОДЗ уравнения.
Рассмотрим несколько примеров (заполняется канва-таблица):
Задача сводится к решению совокупности двух уравнений:
X+2=9 
X=7 x=-1, x=-5
Сделаем проверку. ОДЗ исходного уравнения: х+2>0, т.е. х>-2
Из найденный четырех корней системе неравенств удовлетворяет лишь x=7,x=-1остальные корни являются посторонними для данного уравнения.
Ответ: x=7, x=-1
Ответ:
,
.
Третий метод- метод введения новой переменной
Суть метода: если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений:
гдеu1,u2…un- корни уравнения p(u)=0.
При введении новой переменной необходимо решить полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т.е. до проверки корней (если это необходимо), и только потом можно возвращаться к исходной переменной.
Рассмотрим следующие примеры (заполняется канва-таблица).:
Введем
новую переменную
.
Тогда
.
С условием введенных обозначений
заданное тригонометрическое уравнение
примет вид:
.
Решая полученное квадратное уравнение,
получим корни
.
Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность уравнений:
Второе
уравнение корней не имеет, т. к.
.
Из первого уравнения находим
.
Ответ:
.
(данное неравенство из домашней работы, поэтому заносим его решение в канву-таблицу)
ОДЗ:
Преобразуем левую часть неравенства следующим образом
.Получаем
неравенство вида:
Делаем замену: . Тогда получаем следующее уравнение:
Решаем его методом интервалов. Для этого найдем корни уравнения . Ими будут: . Отмечаем эти точки на числовой прямой и проверяем знак уравнения на каждом интервале.
Решением неравенства будет множество .Переходим обратно к замене, получаем:
Ответ:
- И еще разберем четвертый метод – функционально- графический метод
Суть метода: Для решения ур-я f(x)=g(x) необходимо построить графики функций y=f(x), y=g(x) и найти точки их пересечения- корнями уравнения служат абсциссы этих точек.
Значение метода:
Данный метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения.
1) Если одна из функций y=f(x), y= g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать)
2)Если на промежутке X наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой ф-ии тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений
Перейдем теперь к рассмотрению примеров (заполняется канва-таблица).
Графики
функций
и
изображены
на рисунке ниже.
Они
пересекаются в двух точках (1,1) и (4,2).
График функции
лежит ниже графика функции |x-2|
при
.
Ответ: 0<
Подбором
легко находится корень исходного
уравнения x=2.
Докажем, что этот корень единственный.
Для этого преобразуем исходное уравнение
к виду:
.
Функция
возрастает, а функция
убывает на всей числовой прямой, значит,
уравнение имеет единственный корень
x=2.
Ответ: x=2. КАНВА-ТАБЛИЦА
Метод решения |
Теоретический материал (к каким видам уравнений применим) |
Пример |
По свойствам функций |
Этот метод применяли: - при решении показательных уравнений, когда переходим от уравнение af(x)=ag(x) (a>0, a≠1) к уравнение f(x)=g(x) - при решении логарифмических уравнений, переходим от уравнения logaf(x)=logag(x) к уравнению f(x)=g(x) - при решении иррациональных уравнений, когда переходим от уравнения к уравнению f(x)=g(x). - при решении степенных уравнений Вывод: данный метод применим только в том случае, когда функция y=h(x) – монотонная, которая каждое свое значение принимает только один раз. Если y=h(x)- немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней! |
1). Функция y=x7- монотонно-возрастающая функция, поэтому от данного уравнения можно перейти к уравнению вида 2x+2=5x-9? Откуда x=11/3 2). Решаем: 2х+2=5х-9 3х=11 Х=11/3. Но у нас теряется корень х=1, подставим его в исходное уравнение:
– верное. Данное уравнение нельзя свести к уравнению 2x+2=5x-9, т.к. функция у=x4 не является монотонной. При таком переходе теряется корень x=1.
|
Метод разложения на множители |
Суть
метода: уравнение y= Решив уравнения этой совокупности нужно взять те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения, остальные отбросить как посторонние. |
Задача сводится к решению совокупности двух уравнений:
X+2=9 X=7 x=-1, x=-5 Сделаем проверку. ОДЗ исходного уравнения: х+2>0, т.е. х>-2 Из найденный четырех корней системе неравенств удовлетворяет лишь x=7,x=-1остальные корни являются посторонними для данного уравнения. Ответ: x=7, x=-1
|
Метод введения новой переменной |
Суть метода: если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений где u1,u2…un- корни уравнения p(u)=0. При введении новой переменной необходимо решить полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т.е. до проверки корней (если это необходимо), и только потом можно возвращаться к исходной переменной. |
Введем новую переменную . Тогда . С условием введенных обозначений заданное тригонометрическое уравнение примет вид: . Решая полученное квадратное уравнение, получим корни . Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность уравнений:
Второе уравнение корней не имеет, т. к. . Из первого уравнения находим . Ответ: .
|
Функционально – графический метод |
Суть метода: Для решения уравнения f(x)=g(x) необходимо построить графики функций y=f(x), y=g(x) и найти точки их пересечения- корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Значение метода: Данный метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения. 1). Если одна из функций y=f(x), y= g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать) 2).Если на промежутке X наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений |
Графики функций и изображены на рисунке ниже. Они пересекаются в двух точках (1,1) и (4,2). График функции лежит ниже графика функции |x-2| при . Ответ: 0<
|
можно заменить совокупностью уравнений
Рефлексивно-оценочный этап