28. Методика введения понятий предела функций в точке и непрерывности функции

Понятие предела – одно из важнейших понятий курса математического анализа. Однако исторически теория пределов сформировалась позднее в 19 в, чем дифференциальное и интегральное исчисление (17в).

Определение предела чрезвычайно сложно, поэтому в общеобразовательной школе можно обойтись без строгой его формулировки. Но не зависимо от того, на каком уровне вводиться понятие надо соблюдать следующее:

- Проводить мотивацию изучения, например, с помощью примеров из физики, используя генетический подход, внутренние потребности самой математики.

- Везде где это возможно вводить определение, сформулировать свойства и т.д., исходя из геометрически наглядных соображений, использовать графики функции.

Тема начинается с изучения понятия предела числовой последовательности.

Мотивацией могут служить внутренние потребности математики, так как ранее учащиеся уже сталкивались с термином предел, предельный переход. Поэтому настало время дать четкое определение этому понятию.

Актуализация должна включать следующие упражнения:

1). повторение формул нахождения расстояния между 2 точкам на числовой прямой

х₁(х₁) х₂(х₂)

d(x₁, x₂) = |x₁-x₂|

2) показать на числовой оси множество точек удовлетворяющие равенству

а) |x-a|=b

б) |x-a|<b

где a и b – фиксированные числа.

3). Решить неравенство |x – a| < b (b > 0)

-b < x-a < b

-b+a < x < b+a - запись окружности вокруг точки а радиуса b

Далее на основе решения последних упражнений вводится понятие окружности числа (точки). Окрестность т.а радиуса b.

Затем рассматривается последовательность:

а_n=(2n-1)/n

- Выпишем несколько первых членов последовательности

a₁=…=1

а₂=…=3/2

a₃=…=5/3 ….

- Изобразите полученные числа на числовой прямой (рисуем)

- Можно ли указать сотый (тысячный) член этой последовательности, a₁₀₀₀ ? (да)

a₁₀₀ =1,99

a₁₀₀₀=1,999

- можно ли их изобразить на числовой прямой? (Можно, изображаем)

- существует ли число, к которому приближаются все члены последовательности с возрастанием номера? (да к 2)

- итак, при возрастании номера n члены последовательности приближаются к числу 2. Значит, расстояние между числами и числом 2 уменьшается. Найдем, например, d(a₅₀,2)

аналогично d(a₁₀₀,2)

- Можно ли решить обратную задачу, т.е. найти такой член последовательности (его номер n₀), что d(a_n0, 2) < 1/200

|a₀ – 2| < 1/200

,

,

,

.

т.о. n₀ =201, 202 ,…

- Можно ли для данного расстояния найти номер? В этом случае говорят, что члены последовательности с номерами больше, чем 200 будут находиться, в окружности числа 2 с радиусом 1/200.

Это записывается

,

.

.

- Т.о. в этой окружности содержится бесконечное, число членов последовательности, а вне этой окружности – конечное множество членов, т.е. какое бы малое положительное число ε мы не задали, обязательно найдется такое число N(номер), что все члены последовательности с номерами больше, чем N будут находиться в заданной окружности числа 2 с радиусом ε. В этом случае говорят, что число 2 является пределом последовательности a_n.

Далее рассматривается еще одна аналогичная последовательность, например:

Выполняется аналогичная работа с этой последовательностью. Фактически еще раз проговаривается определение, которое далее формулируется в двух видах.

Число А называется пределом числовой последовательности xn при n→∞, если
какую бы окружность числа не взяли, то все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в эту окружность.	для любого сколь угодно малого ε>0 найдет такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство | xn - A|<ε
на языке окрестностей	на языке ε-N:

Выполняется упражнение на осознание и осмысление определения при рассмотрении конкретных числовых последовательностей. К уроку, на котором будет изучаться определение предела функций в точке, учащимся надо предложить выполнить следующее задание:

1) доказать, что lim(n-1)/3n=1/3 и т.д.

2) построить графики функций

а)y=2x+1

b)y=(2x²-x-1)/(x+1), получим y=2x+1, x≠1

в) у=система: (2x²-x-1)/(x+1) при х≠1

2, при х=1

г) у=система: 2x+1, при x<1

2-x, при x 1

На уроке вспоминается определение предела числовой последовательности и что означает неравенство |Хn - A| < ε

- имеется ε-окружность точки А

- А-ε < Хn < A+ε

- расстояние между точками Xn и А меньше ε

Мотивация.

Рассматривается пример из физики:

- Если масса груза m увеличивается незначительно, то длина нити l мало изменяется. Но если масса груза близка к некоторой критической предельной массе m* (пределу прочности нити), то происходит обрыв нити.

Изобразим это графически:

Т акие процессы в физике встречаются довольно часто, поэтому перед нами стоит математическая задача:

Найти математический аппарат (модель) с помощью которого можно описать эти процессы.

Разрыв графика связан с пределом функции в точке. Рассмотрим график новой функции y = 2x+1 из д/з (строим)

- С какой бы стороны (лево, право) мы по оси Ох не двигались при х →1, f(x)→3.

Рассмотрим существуют ли такие значения х при которых

|2x + 1 – 3| < 0,1; |2x – 2| < 0,1; 2 – 0,1 < 2x < 2 + 0,1; 1,9 < 2x < 2,1

0,95 < x < 1, 05 – получилась окружность числа 1 по оси Ох.

Аналогично решаются неравенства: |f(x) – 3| < 0,001, |f(x) – 3| < 0,0001

Т.е. при рассмотрение любой ε-окрестности числа 3 по оси Оу обязательно найдутся такие числа х из окрестности числа 1 по оси Ох, что будет выполнятся неравенство |f(x) – 3| < ε. (Иллюстрируют на рисунке).

В этом случае говорят, что существует предел функции в точке

Аналогично показывается по графику другой функции.

y=(2x²-x-1)/(x+1), получим y=2x+1, x≠1 (рисуем, (1, 3) – выколота).

Рассуждая аналогично, получаем

у=система: (2x²-x-1)/(x+1) при х≠1

2, при х=1

(рисуем, (2, 3) – выколота). Аналогично рассуждая полчим тот же вывод.

у=система: 2x+1, при x<1

2-x, при x 1

(рисуем, (1, 3) – выколота).

- Пусть х →1. Можно ли указать значение к которому стремится у? (Нет, нельзя, т.к. зависит от того, с какой стороны двигаемся по оси Ох).

В этом случае говорят, что не существует предела функции в точке. Анализируя примеры формулируем определение.

На языке ε-окресностей :

Число b называется пределом функции у = f(x) при x→a , если любая ε-окрестности точки b найдется такая δ-окрестности точки а, что для всех х из этой окрестности, кроме быть может самой точки а, значения функции f(x) лежит в ε-окрестности точки b .

На языке ε-δ:

Число b называется пределом функции у = f(x) при x→a, если для любой ε>0, существует δ>0 ,что при всех х ≠ а, удовлетворяющих неравенству |x-a| < δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.

- Из приведённых определений следует, что для существования предела функции в точке, надо чтобы функция была определена во всех точках некоторой окружности данной точки, кроме быть может самой заданной точки.

Для осознания и осмысления решаются задачи:

1) вставить пропущенные слова в определении

2) указать предел функции в точке

3) доказать, что функция не имеет предела в заданной точке (методом от противного).

Далее по имеющимся графикам функций отвечаем на вопросы:

1) определена ли функция в точке х=1. Если да, то найти f(1)

2) существует ли предел при х→1, f(х). Если да, то указать его.

3)выполняется ли равенство lim f(x)=f(1) при x→1

Следовательно только для функции y=2x+1 все ответы на данные вопросы положительные. И только ее график можно построить, не отрывая мел от доски. такая функции называется непрерывной, остальные разрывные.

Опр. Функция y=f(x) называется непрерывной в некоторой точке а, если lim f(x) = f(a) при x→a

Функция называется непрерывной на промежутке, если непрерывна в каждой точке промежутка.

В учебнике Ш.А.Алимова и др. данное подробно не рассматривается, поэтому учитель сам решает в зависимости от уровня класса, на сколько углубляется в изучение данной темы.