12.Проект изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (9 класс). Урок решения ключевых задач (метод уде)

• Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии решались давно. Карл Гаусс (1777 г.–1855 г.) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 10,будучи учеником начальной школы. С начала нашей эры известна задача – легенда о царе и изобретателе шахмат (задача о зернах).

У нас в России задачи на прогрессии впервые встречаются в одном из древнейших памятников русского права – в «Русской правде», составленном при Ярославе Мудром в XI веке. Там есть статья, посвященная вычислению приплода от двадцати овец за 12 лет при условии, что каждая овца приносила ежегодно одну овцу и одного барана. Там же можно прочесть любопытный расчет, составленный сельским хозяином о приплоде за 12 и 9 лет от всего скота и пчел его села, прибыли от высеваемого хлеба и пяти стогов сена, а также расчет платы за 12-летнюю сельскую работу женщине с дочерью.

Задачи на прогрессии встречались и в первом учебнике «Арифметика», который создал Л.Ф. Магницкий.Прогрессии в «Арифметике» Магницкого включены в пятую часть первой книги «О прогрессиях и радиксах квадратных и кубических». Приведем задачу из этого раздела. «Некий человек продал коня за 156 рублей; раскаяся же; купец начаотдавати продавцу обратно, глаголя: яко несть мне леповзятисицевого коня недостойного таковые высокие цены. Продавец же предложи ину куплю глаголя: аще те мнится велика цена сему коню, убо купи только гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою же куплею в дар себе. А за гвозди в каждой подкове по шести и за один гвоздь даждь мне полушку (древняя русская монета, равная ¼ копейки), за другой же две полушки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец же, видя столь малую цену и коня хотя в себе дар взяти, обещал таку цену ему платити, чая не больше десяти рублей за гвозди дати. И ведательно есть: колико купец проторговался?» (Ответ, данный Л.Ф.Магницким, -4 178 703 ¾ копейки.)

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней школы изучается обособленно, лишь в девятом классе, мало перекликаясь с другими разделами школьной программы. А.Г. Мордкович считает нецелесообразным изучение этой темы именно в девятом классе, так как по большому счету тема «Прогрессии» в 9 классе не имеет связи с остальным материалом основной школы. «Последовательности» - тема математического анализа, и логичнее было бы с нее начинать изучение начал математического анализа в 10 классе. Но несмотря на это задачи, для решения которых необходимо знать не только формулы п-го члена и суммы первых п членов, но и свойства арифметической и геометрической прогрессий, предлагаются на ЕГЭ. А для того, чтобы знания ученика были на достаточно высоком уровне, необходимо активизировать его познавательную деятельность при изучении прогрессий. Поэтому теоретические и практические исследования по данной теме представляются актуальными в настоящее время и обусловлены насущными потребностями средних школ различного уровня: как общеобразовательных, так и с математическим уклоном.

• Программа по математике

В зависимости от типа школы и от учебника на изучение темы «Прогрессии» дается от 12 до 16 часов.

Основные цели изучения темы:

• формирование преставлений о понятии числовой последовательности, арифметической и геометрической прогрессиях как частных случаях числовых последовательностей; о трех способах задания последовательности: аналитическом, словесном и рекуррентном;

• сформировать и обосновать ряд свойств арифметической и геометрической прогрессий, свести их в одну таблицу;

• овладение умением решать текстовые задачи, используя свойства арифметической и геометрической прогрессии.

IV. Логико-дидактический анализ темы

А) Анализ теоретического материала.

Учебник: А.Г. Мордкович. Алгебра 9. – М.: Мнемозина, 2002.