4. Методика изучения линейной функции

В одних школьных учебниках изучается функция у = kx, а затем y = kx + b (Ш.А. Алимов). В других сразу изучается функция y = kx + b (А.Г. Мордкович). Но в том и другом случае нужно начинать с рассмотрения конкретной модели.

Задача 1. Укажите площадь прямоугольника, одна сторон которого равна 3 см. Дано: ABCD – прямоугольник, AD = 3см Указать: S Решение: Пусть АВ = a см, тогда - Каково значение при а = 4 см? S = 12 При а = 0,1 см S = 0,3 и т.д. - Какие величины изменяются в данной фигуре? a и S - Какая величина изменяется в зависимости от другой? S - Тогда обозначим а = х, S = y. Получим функцию у = 3х.

Задача 2. Укажите сторону прямоугольника одна сторона которого равна 3 см. Дано: ABCD – прямоугольник, ВС = 3см Указать: а Решение: Пусть АВ = a см, тогда (cм) Каково будет значение стороны треугольника при S = 9см2, S = 0,27 см2? а = 3 см, а = 0,09см - Какие величины изменяются в данной формуле? a и S - Какая величина изменяется в зависимости от другой? а - Тогда обозначим S = х, а = у, получим функцию .

- Сравните полученные функции.

Общее: независимая переменная умножается на конкретное число.

- Таким образом, эти функции можно записать общей формулой y = kx, где k – некоторое заданное число. Функции заданного вида описывают многие реальные процессы (зависимость пройденного пути от потраченного на него времени и т.п.), поэтому необходимо их изучить. В практике важно знать как выглядит график этой функции. Построим график первой функции у = 3х.

При построении графика важно пройти 5 этапов последовательно:

1). Составить по заданной формуле таблицу значений х и соответствующих им значений у.

х	-2/3	…
у	-2	…

2). Построить точки, координаты которых заданы в таблице (Т.1).

3). Т.к. х – любое число, то проведём через полученные точки сплошную линию. Возникает предположение, что полученный график является прямой.

4) Находим по заданной формуле другие точки (Т.2)

Проверяем принадлежат ли точки с заданными координатами данной прямой.

5). Берём точку на построенной прямой и находим её координаты (2/3; 2) Подставляем найденные координаты в формулу и убеждаемся, что равенство верно.

Делаем общий вывод, что графиком функции y = kx является прямая при любом k (аналогично можно рассмотреть на графике y = 1/3∙k).

Далее обсуждается, что любая такая прямая проходит через т. (0;0), т.е. через начало координат. Из курса геометрии известно, что прямая задаётся однозначно 2 точками. Поэтому, чтобы построить график функции y = kx достаточно построить 2 точки графика и соединить их прямой линией с помощью линейки.

Далее рассматривается зависимость расположения графика в координатных четвертях от его вида, идёт сверху вниз или снизу вверх. Это зависит от k.

Чтобы перейти к рассмотрению общего вида линейной функции, опять решаем практическую задачу.

Задача. На складе было 500т угля. Ежедневно стали вывозить по 30т угля. Сколько угля будет на складе через х дней?

Решая данную задачу, получаем функцию: у = 500 – 30х, у = -3х + 500

Далее решаются аналогичные задачи, в итоге приходим к функции вида: y = kx+b, где k и b – заданные числа. Даётся определение линейной функции, строятся графики конкретных линейных функций, проходя все 5 этапов.

Опр. Линейной функцией называется функция y = kx + b, где k и b – заданные числа.

Делается вывод, что графиком линейной функции является прямая. Рассматривается вопрос получения графика функции y = kx + b из графика функции y = kx.

Например, даны функции у = х и у = х + 5. Сравним значения функций при одних и тех же значениях х.

х	0	0,5	…
у = х	0	0,5	…
у = х + 5	5	5,5	…

Значения функции у = х + 5 на 5 единиц больше, чем у функции у = х.

- Посмотрим как это отображается на графике.

Графики функций – параллельные прямые. График второй функции получен из графика первой функции сдвигом вверх на 5 единиц. Далее рассматриваются другие аналогичные примеры.

Делается общий вывод: график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом вдоль оси ординат на |b| вверх, если b>0; вниз, если b<0. Графики функций y = kx + b и y = kx – параллельные прямые.

В Мордковиче А.Г. также подробно рассматривается вопрос взаимного расположения графиков линейных функций. В отличие от Ш.А. Алимова, Мордкович сначала рассматривает линейную функцию, а потом среди линейных особо выделяет функцию вида y = kx.

Теорема: Пусть даны две линейные функции у = k₁x + m₁ и у = k₂ + m₂. Если угловые коэффициенты k₁ и k₂ равны, то прямые, служащие графиками линейных функций, параллельны (и даже совпадают при условии m₁ = m₂). Если же k₁≠ k₂, то прямые пересекаются.

Линейные функции	Алгебраическое условие	Геометрический вывод
у = k1x + m1 у = k2 + m2	1) k1 = k2, m1 ≠ m2 2) k1 = k2, m1 = m2 3) k1 ≠ k2	1) Прямые у = k1x + m1 и у = k2 + m2 параллельны 2) Прямые у = k1x + m1 и у = k2 + m2 совпадают 3) Прямые у = k1x + m1 и у = k2 + m2 пересекаются