2. Понятие функции в мат-ке и в школьном курсе мат-ки. Формирование понятия функции в школьном курсе мат-ки

Понятие функции одно из важнейших фундаментальных понятий математики. Оно прошло долгий путь развития и оставаясь одним и тем же по содержанию существенно меняло свою форму. Понятие функции возникло на основе практической деятельности человека и объективно отражало существующие зависимости между изменяющимися явлениями окружающего материального мира. Идея функциональной зависимости встречается в работах древних греков. Там не было соответствующей терминологии, а функциональная зависимость отражалась фразами типа: «площадь квадрата зависит от его стороны». Речь идёт о двух величинах, изменение одной из которых ведёт к изменению другой.

Дальнейшее развитие этого понятия происходит в работах Ферма и Декарта в XVIIв. Ферма вводит в математику переменные величины. Декарт говорит о зависимой и независимой переменных. Однако в их работах функциональные зависимости связаны либо с геометрией (ордината точки зависит от её абсциссы), либо с механикой (путь зависит от времени).

В XVIII в. функциональная зависимость уже выражается формулами (Бернулли, Эйлер).

В XIX в. Появляется необходимость рассматривать функцию как соответствие (Лобачевский Н.И., Дирихле).

В связи с развитием теории множеств, появляется новый взгляд на функцию как на отображение одного множества на другое.

В результате, если рассмотреть курс высшей математики, то можно выделить такое определение функции:

Опр. Функцией называется функциональное, всюду определенное бинарное отображение мно-ва Х на мно-во У (X → Y).

Возникает вопрос: следует ли в школе давать такое определение? НЕТ. Тогда какое определение понятия функции следует давать учащимся и когда?

В разных изданиях учебников разных авторов встречаются следующие определения (описания) понятия функции:

Опр. 1. Если каждому значению х из некоторого множества Х поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х), при том х называют независимой переменной (аргументом), а у – зависимой переменной (функцией). (В учебнике Ш.А. Алимова и др.)

Опр. 2. Отношение между элементами двух множеств при котором каждому элементу первого множества соответствует не более одного элемента второго множества называется функцией. (А.Н. Колмогоров, в учебниках до 1988г.)

Опр. 2’. Отображение некоторого подмножества D множества R на п/мн-во Е мн-ва R есть числовая функция. (А.Н. Колмогоров, учебники 1889 – 1990гг.)

Опр. 3. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому члену х принадлежащему мн-ву D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х. (А.Н. Колмогоров, учебники после 1990г.)

Опр. 4. Говорят, что переменная у является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяется по каждому значению х однозначно определить значение у. (Л.И. Башмаков и др.)

Опр. 5. Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить соответствие каждому элементу х из Х определённое число у, то говорят, что задана функция: y = f(x) с областью определения Х. х называется независимой переменной (аргумент), у – зависимая переменная (функция). (А.Г. Мордкович)

Из всех определений явно выделяются опр. 2 и опр. 2’, они отличаются от других родовыми понятиями (отношение, отображение). Такие определения возможны при теоретико-множественном подходе построения курса алгебры. Определение здесь математически и логически строгое, все предшествующие понятия определены. С помощью этого определения легко перейти от функций в алгебре к понятию преобразования в курсе геометрии.

Определить понятие функции при теоретико-числовом подходе довольно сложно, об этом говорит разброс в определениях 1, 3 - 5. В этих определениях трудно выделить родовое понятие (соответствие, зависимость, правило). Все эти предшествующие понятия не определяются. Группа авторов Ш.А. Алимов и др. не считают приведённую формулировку определением. У других авторов формулировки идут под термином «определение».

Анализируя все эти определения приходим к выводу, что функция понимается как правило, соответствие. А что это такое учащимся становится ясно, опираясь на интуитивное представление и из рассмотрения конкретных примеров.

Все определения отличаются ещё одним параметром – множеством, на котором задана функция, т.е. областью определения. В опр. 1, 3, 5 – это область указывается, а в опр. 4 об этом разговора нет.

Если речь идёт об естественной области определения, то при задании функции её можно не указывать. Именно о такой области определения идёт речь в опр. 1, 3.

Мордкович А.Г. предпочитает рассматривать функцию на заданной области определения, т.е., например, функция у = 2х – 3 на R – одна функция, а у = 2х – 3 на [-4; 5] – другая функция.

В формировании понятия функции в школьном курсе можно выделить 3 этапа:

1). Этап накопления опыта (5 – 8 кл) В 5 -6 кл. проводится пропедевтика понятия ф-ции. В 7 – 8 кл. изучаются частные виды функций. В 7 кл. вводится термин «функция», частично его смысл разъясняется. Далее изучается линейная функция, рассматриваются прямая и обратная пропорциональные зависимости.

В 8 кл. изучаются квадратичные функции, рассматриваются преобразования графиков: параллельный перенос. Устанавливается, что графиком квадратичной функции является парабола, изучаются свойства параболы (ветви, ось симметрии). Рассматривается алгоритм построения параболы, свойства квадратичной функции, которые можно прочитать по графику (мн-во значений, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, наличие наибольшего или наименьшего значения). Определения не даются.

2). Этап изучения функции на формально-логическом уровне. Идёт исследование функции элементарными средствами (9-10кл.). Даются определения понятиям и свойства.

В 9кл. формулируется определение или описание понятия «функция».По схеме изучаются степенная, логарифмическая, тригонометрические функции.

3). Этап изучения функции с помощью производной (11 кл.). Вводится понятие предела функции, производной функции. Исследуется функция с помощью производной и строится её график.