20. Группа симметрий фигуры.

---

симметрия относительно диагонали 2-4

- симметрия относительно диагонали 1-3

симметрия относительно горизонтальной линии

симметрия относительно вертикальной линии

Вращение по часовой На 90⁰

Вращение по часовой На 180⁰

Вращение по часовой На 270⁰

Тождественная

21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями: Кольцо. Виды колец. Тело. Поле.

КОЛЬЦО:::

Кольцо - это алгебры вида А=<M,+ ,_* > для операций которой выполняются следующие аксиомы колец: для любых (a, b, c Î М):

1) аддитивная операция «+» ассоциативна a + (b + c) = (a + b) + c

2) $ е для «+» аддитивной операции а + е = е + а = а

3) $ а^# для «+» аддитивной операции а + а^# = a^# + a = e

4) Аддитивная операция «+» коммутативна a + b = b + a.

5) Мультипликативная операция ⊗ дистрибутивна относительно «+» аддитивной справа и слева.

a (b + c) = (ab)  + (a c)

(b + c)  a = (b a)   +  (c a )

ВИДЫ КОЛЕЦ::::::::::::::::::::::::::::

__Если a (b c) = (a b) с, то кольцо – ассоциативно

__Eсли (aa)b = a(ab), (ab) b = a (b b) - альтернативно;

__Если a b =   bа, то кольцо коммутативно;

__Если ab =   bа и (ab)(aa) = ((aa) b) a, то кольцо йордановое

__Eсли a² = a, a(bc) + b(ca) +c(ab) = 0, то это кольцом Ли;

ПОЛЕ:::::::::::::::::::::::::

Поле - это( кольцо) алгебры вида А=<M,+ ,_* > для операций которой выполняются следующие аксиомы: для любых (a, b, c Î М):

1) аддитивная и мультипликативная операции ассоциативны a + (b + c) = (a + b) + c, (ab) c = a (bc)

2) $ е для аддитивной и мультипликативной операций

а + е = е + а = а, а е = е а = а

3) $ а^# для аддитивной и мультипликативной операции

а + а^# = a^# + a = e, а а^# = a^# a = e

4) Аддитивная и мультипликативная операции коммутативны

a+b = b+a, ab=ba

5) Мультипликативная операция дистрибутивна относительно аддитивной справа и слева. a (b + c) = (ab)  + (a c), (b + c)  a = (b a)   +  (c a )

___Все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы — абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля).

ТЕЛО :::::::::::::::::::::::::::: __Тело это кольцо, для которого в случае изъятия 0, выполнены условия

1) $ е для мультипликативной операции а е = е а = а

2) $ а^# для мультипликативной операции а а^# = a^# a = e

3) Мультипликативная операция коммутативна ab=ba

__Теорема. Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уравнения ax = b и xa = b, разрешимы для любых элементов a, bΠA, где a ¹ 0.

22. Решетка как универсальная алгебра. Решетка как частично упорядоченное множество. Мажоранта, максимальный элемент, наименьшая верхняя (точная верхняя) грань множества Sup. Миноранта, минимальный элемент, наибольшая нижняя (точная нижняя) грань множества Inf. Связь двух определений решеток.

РЕШЕТ КАК УНИВЕРСАЛ АЛГЕБ::::

__Решетка - алгебра с двумя бинарными операциями + , ⊗ удовлетворяющая следующим тождествам

1) _идемпотентность, a+ a = a, a  ⊗ a = a

2)_Коммутативностьa + b = b + a, a  ⊗ b = b ⊗ a 3)_Ассоциативнос (a + b) + c = a + (b + c), (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)

4)_Поглощение ( a ⊗ a)  + b = a, ( a + a) ⊗ b = a 

РЕШ КАК ЧАСТИЧ УПОР МН_ВО::::

__Решетка — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани.

МАЖОРАНТА ,,…….:::::

__Элемент а из А есть мажоранта множества В, если элемент

a есть последующий или равный элемент для всех b из B.

___Если мажоранта Î B, то она максимумом множества B.

___Если множество мажорант имеет минимум, то он единственен и его называют наименьшей верхней гранью Sup B.

МИНОРАНТА,…..,…..:::::

___Элемент а из А есть миноранта множества В, если элемент

a есть предшествующий или равный элемент для всех b из B.

__Если миноранта Î B, то она минимум множества B.

___Если множество минорант имеет максимум, то он единственен и его называют наибольшей нижней гранью Inf B.

СВЯЗЬ ДВУХ ОПРЕД РЕШЕТКИ::::

_Решетка - алгебра с двумя бинарными операциями "+" , "*" удовлетворяющая определенным тождествам

__Решетка — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани

__Связь между двумя определениями решетки: a +b = sup {a, b},         a * b = inf {a, b}