- •2. Простое и необычное множество. Парадоксы и Антиномии. Парадокс Рассела и его роль в математике. Способы избежать Парадокса Рассела. Логические антиномии.
- •3. Операции над множествами и законы алгебры множеств. Диаграммы Эйлера. Формула включений и исключений. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •6. Операции над соответствиями. Объединение, пересечение, дополнение, инволюция (обратное) соответствия, композиция соответствий.
- •7. Прямое и обратное соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Свойства соответствий Галуа. Замкнутое подмножество.
- •8. Бинарное отношение. Способы задания. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •10. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве. Непосредственно предшествующие элементы. Линейно упорядоченные подмножества.
- •11. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •12. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности и ее интерпретация. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •15. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •16. Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нейтрального и обратного элементов, разрешимость уравнений.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Подстановки. Композиция подстановок, нейтральная, обратная подстановка. Группа подстановок и ее таблица Кэли. Подгруппы группы подстановок.
- •20. Группа симметрий фигуры.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями: Кольцо. Виды колец. Тело. Поле.
- •4) Аддитивная и мультипликативная операции коммутативны
- •23. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •25. Способы задания графов: матрица смежности, матрица инциденций и список смежности.
- •28. Алгоритм определения компонент связности в неориентированном графе.
- •29. Эйлеров путь в графе. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •33. Необхдимое и Достаточное условия для определения дерева. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности.
- •35. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в общем случае – алгоритм Форда-Беллмана. Сложность алгоритма
- •36. Алгоритм Дейкстры — алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае неотрицательных весов. Сложность алгоритма.
- •37. Лемма о перенумерации вершин. Алгоритм перенумерации вершин графа.
- •38. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае бесконтурных графов. Сложность алгоритма.
- •39. Система pert. Алгоритм топологической сортировки. Критический путь и способ его нахождения.
- •41. Потоки в сетях. Классификация вершин по воздействию на поток. Величина потока. Разрез и поток через разрез. Теорема о максимальном потоке. Метод увеличивающих цепей.
- •42. Знаковые орграфы и задачи социологии. Теорема Харари о балансе. Недостатки математической модели о балансе.
- •45. Эквивалентность и включение сетей Петри. Построение дерева достижимости сети Петри.
- •46. Виды сетей Петри: временная, стохастическая, функциональная, цветная, ингибиторная. Использование сети Петри для проверки абстрактного сценария. Сеть Петри для задачи об обедающих философах.
- •48. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •51. Формы записи формул (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Преобразования формул: инфиксная в префиксную и постфиксную, префиксная в инфиксную, постфиксная в инфиксную.
- •52. Элементарная конъюнкция, элементарная дизъюнкция. Днф, сднф, кнф, скнф. Построение сднф и скнф по таблице истинности. Преобразования днф в сднф. Преобразование кнф в скнф.
- •53. Полиномы Жигалкина. Построение полиномов Жигалкина.
- •54. Классы логических функций: сохраняющие 0, сохраняющие 1, монотонные, линейные, двойственные, самодвойственные. Критерий поста.
- •55. Упрощение сднф при помощи Карты Карно. Булева алгебра и коммутационные схемы. Анализ и синтез коммутационных схем. Проектирование полубитного сумматора.
- •56. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и таблицы Кэли. Примеры k-значных логик: алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера-Тьюкетта.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования. Область действия квантора. Связанное и свободное вхождение переменной в формулу.
- •61. Эквивалентные соотношения логики предикатов. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •62. Конечный автомат. Способы задания: таблицей, диаграммой.
- •64. Виды автоматов: Мили, сильносвязанный, автономный, Мура. Изоморфизм и эквивалентность автоматов. Изоморфизм графов и автоматов. Неотличимые автоматы. Минимальный автомат.
- •65. Подстановочные, перестановочные криптограммы, Шифр Тритемиуса.
- •66. Равномерные коды, неравномерные однозначно декодируемы (префиксные) коды: код и дерево Фано, кодирование и дерево по Хафменну.
- •67. Условие однозначной декодируемости для неравномерных кодов.
- •69. Кодирование и декодирование по Хеммингу.
25. Способы задания графов: матрица смежности, матрица инциденций и список смежности.
МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ:
__Матрица смежности A=|| aij || - размера n×n (n-число вершин)
__aij равен числу ребер, соединяющих вершины vi и vj (для неориентированного графа). Матрица симметричная.
___aij равен числу дуг идущих из вершины vi в вершину vj (для ориентированного графа)
МАТРИЦА ИДЕНПОТЕНТНОСТИ::::
__Матрица инциденций B=|| bij ||, размера n×m (n - вершины, m – ребра(дуги),
Для неориентированного графа
_bij =1, если вершина vi инцидентна ребру aj
_bij =0, если вершина vi не инцидентна ребру aj
Для ориентированного графа
_bij =-1, если дуга aj выходит из вершины vi
__bij =1, если дуга aj входит в вершины vi
__bij =2, если дуга aj является петлей в вершине vi .
__bij =0, если вершина vi не инцидентна ребру aj
СПИСОК СМЕЖНОСТИ:
__Список смежности – массив указателей P(n) (n- число вершин) на списки смежности для вершин.
__Список для каждой вершины состоит из информативного поля содержащего смежную вершину и указатель на следующую смежную вершину. Последний элемент имеет нулевой указатель.
__Для ориентированного графа в список заносятся вершины являющимися конечными для ребер инцидентных с рассматриваемой вершиной.
__вершины должны быть отсортированы в порядке возрастания.
X1 a x2 a x3 a x5 a 0
X2 a x2 a x5 a 0
X3 a 0
X4 a x3 a 0
X5 a x4 a 0
X6 a x1 a x5 a x6 a 0
26. Маршрут, цикл, обход, цепь, простая цепь графа. Длина маршрута, расстояние между вершинами. Аксиомы метрики графа. Одноместные операции: удаление или добавление ребра или вершины, стягивание ребра (отождествление пары смежных вершин), подразбиение ребра. Декартово произведение, композиция графов.
Маршрут — последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину.
Длина маршрута равна количеству ребер в маршруте.
Цикл – маршрут, нач. и заканч. в одной вершине.
Маршрут, содержащий все вершины или ребра графа называется обходом графа.
__Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины и ребра различны.
Длина кратчайшей простой цепи, соединяющей вершины vi и vj, называется расстоянием d (vi,vj) между vi и vj.
АКСИОМЫ::::::
__В связном неориентированном графе расстояние удовлетворяет аксиомам метрики: для любых вершин и, v и w
1) d(u, v) ³ 0 и d(u, v) = 0 тогда и только тогда, когда u = v;
2) d(u, v) = d(v, u);
3) d(u, v) + d(v, w) ³ d(u, w)
При удалении вершины в матрице смежности обнуляются строка и столбец с номером этой вершины. При удалении ребра обнуляется элемент на пересечении указанных строки и столбца (номеров 2-х вершин).
27. Подграфы. Связанный подграф. Компонента связности. K-связанный подграф, К-реберно связанный подграф. Путь, полупуть, достижимость и соединимость вершин в ориентированном графе. Категории связанности ориентированного графа: сильно, односторонне и слабо связанный.
__Подграфом G¢ (V¢, E¢) графа G(V, E) называется граф с множеством вершин V¢ Í V и множеством ребер (дуг) E¢ Í E, — такими, что каждое ребро (дуга) из E¢ инцидентно (инцидентна) только вершинам из V¢.
__Граф называется связным, если любая пара его вершин соединена маршрутом.
__Любой максимальный связный подграф (то есть, не содержащийся в других связных подграфах) графа G называется компонентой связности. Несвязный граф имеет, по крайней мере, две компоненты связности.
__Граф называется k - связным (k - реберносвязным), если удаление не менее k вершин (ребер) приводит к потере свойства связности.
НЕТУ:
К-реберно связанный подграф. Путь, полупуть, достижимость и соединимость вершин в ориентированном графе. Категории связанности ориентированного графа: сильно, односторонне и слабо связанный.