45. Эквивалентность и включение сетей Петри. Построение дерева достижимости сети Петри.

Сети Петри эквивалентны, если они имеют одинаковое множество достижимых состояний или множество реализуемых последовательностей переходов.

Сеть СП1, включается в СП2, если поведение СП1 явл. подмнож. поведения СП2.

Вершинами дерева достижимости явл. разметки сети.

Дерево достижимости представляет все достижимые разметки сети Петри, а также — все возможные последовательности запусков её переходов.

Построение дерева:

12. Если в дереве есть вершина y, с той же маркировкой (m[x]=m[y]), то х — дублирующая вершина.

13. Если для маркировки m[х] ни один из переходов не разрешен, то х — терминальная.

14. В противном случае, для всякого перехода ti разрешенного в m[х], создаётся новая вершина z дерева достижимости. Маркировка m[z] для позиции pi, определяется по следующим правилам:

1. Если  m[х](pi)=w, то m[z](pi)=w.

2. Если на пути от корня к z существует вершина y такая, что все позиции имеют маркировки , чем для вершины z, то маркировка позиции pi, для которых m[z](pi) > m[y](pi), следующая m[z](pi)=w .

15. Строится дуга с меткой ti, направ. от вершины x к вершине z. Вершина х становится внутр., а вершина z — граничной.

16. Алгоритмом останавливается если все вершины дерева станут терминальными, дублирующими.

46. Виды сетей Петри: временная, стохастическая, функциональная, цветная, ингибиторная. Использование сети Петри для проверки абстрактного сценария. Сеть Петри для задачи об обедающих философах.

Временная сеть Петри — переходы обладают весом, опред. продолжит. срабатывания (задержку).

Стохастическая сеть Петри — задержки являются случайными величинами.

Функциональная сеть Петри — задержки определяются как функции аргументов (например, кол-ва меток в позициях, состояния переходов).

Цветная сеть Петри — метки могут быть различных типов, обозначаемых цветами, тип метки может быть использован как аргумент в функциональных сетях.

Ингибиторная сети Петри — возможны ингибиторные дуги, запрещающие срабатывание перехода, если во входной позиции, связанной с переходом ингибиторной дугой находится метка.

Сеть Петри использ. для выявл. ошибок абстрактного сценария системы. С этой целью сценарий трансформир. в сеть Петри и провер. ее св-ва.

Применительно к сценарию проверяются 3 св-ва:

1) Сеть Петри должна быть ограниченной.

2) При работе сети Петри не должны появл. неконечные тупиковые состояния, в которых не активирован ни один переход.

3) При работе сети Петри не должно возникать "ловушек" — циклов без выхода (если объект попал в нее, будет циклич. циркулир., но не сможет выйти).

С еть Петри для задачи об обедающих философах:

Была предложена Дейкстрой.

5 философов гуляют в саду и размышляют. Когда философ чувствует голод, он заходит в столовую, где стоит круглый стол с 5 стульями и миской спагетти посреди стола. На столе — пять вилок, по одной слева и справа от каждого стула. Философ берет 2 вилки и ест спагетти. Утолив голод, философ кладет вилки на стол и выходит в сад размышлять, пока вновь не почувствует голод.

Задача: требуется предложить такую модель, которая позволила бы синхронизировать независимые действия философов и не допускала взаимной блокировки, когда все философы сидят за столом, каждый взял по вилке и никто не может начать есть (состояние тупика).

Пример решения: запрет на присутствие в столовой более 2-х философов (доп. позиция с 2-мя маркерами), запрет на соседство 2-х философов (доп. позиция с 1 маркером).

47. Логическое представление исследуемой системы. Простые и сложные высказывания. Логич. операции. Таблица истинности и таблица Кэли. Конверсия, инверсия, контрапозиция. Необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условия.

Логические (формальные) представления системы — описание в виде совокупн. сложных высказ., составл. из простых (элементарных) и логич. связок между ними.

Логич. представ. характеризуются опред. св-вами и набором допустимых преобраз. над ними (операций, правил вывода, …), кот. явл. правильными методами рассуждений — законами логики.

Высказывание — повествовательное предложение , о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Простые высказывания рассм. в данном контексте как неделимое целое (аналог эл-та множества).

Сложные высказывания формулируются из простых с помощью логич. связок (операций), заменяющие связки естественного языка в сложных предложениях.

Логическая операция – функция, завис. от логических переменных (= 0,1), кот. может быть = 2 знач: 0 и 1.

Логическая операция — функция вида f(x1,x2,…xn): Bⁿ→B, где В — множ., состоящее из 2 эл-тов В={0,1}.

В таблице истинности для бинар. операций первые 2 столбца содержат все возмож. наборы операндов, а последующие столбцы — значения логич. функций.

Таблица истинности:

А	B	А&B	AÚB	ùА	ùВ
0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	0	0

Таблица Кэли:

&	0	1		^	0	1
0	0	0		0	0	1
1	0	1		1	1	1

Пусть определена импликация А®В, тогда для этого выражения можно построить:

1) Конверсию В®А;

2) Инверсию ùА®ùВ;

3) Контрапозицию ù В ® ù А.

Высказывания явл. равносильными, если для всех наборов переменных совпадают их значения.

Равносильны:

1) Конверсия В®А и инверсия ù А ® ù В.

2) Импликация А®В и контрапозиция ù В ® ù А.

Импликации A ® B, кроме очевидных «Если А, то В», «А влечет В», соответствуют следующие словесные обороты:

1) «А достаточно для В»: «Делимость числа на 12 достаточное условие для делимости числа на 6». При выполнении А (делимости на 12) всегда наступает В (делимость на 6) A ® B. Равносильно «Если число делится на 12, то оно делится и на 6».

2) «В необходимо для А»: «Делимость числа на 2 необходимое условие делимости числа на 6». Невыполнение В (на 2 не делится) влечет не выполнение А (на 6 не делится), т.е. выполняется контрапозиция ùВ®ùА. Как показано раннее, контрапозиция равносильна импликации A®B. «Если k делится на 6, то оно делится на 2».