33. Необхдимое и Достаточное условия для определения дерева. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности.
__Граф G = <V, E> называется деревом, если он связен и ацикличен.
__Необходимые и достаточные условия определения дерева G =<V, E>:
1)Любая пара вершин в G соединена единственным путем
2)G связен и m = n – 1, где n – число вершин, m- число ребер
3)G связен и удаление хотя бы одного его ребра нарушает связность графа
4)G ацикличен, но если добавить хотя бы одно ребро, то в G появится цикл.
ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ::::
_В полном графе с n-вершин, существует nn–2 возможных остовных деревьев.
__Задача о проведении дорог. Для каждой пары городов А и В известна стоимость С(А,В) строительства дорог между ними (вес ребра). Нужно построить самую дешевую сеть дорог из всех nn–2 возможных. Если имеется 10 городов (n=10), то всего 108 возможных сетей дорог
___Искомый граф должен быть экономическим деревом, т.е. обладать наименьшей длиной (длина – сумма весов ребер). Перебор не пригоден.
__Задача построения минимального остовного дерева — это одна из немногих задач теории графов, которую можно считать полностью решенной.
АЛГОРИТМ КРУСКАЛА:::
_Пусть есть связный граф, имеющий n вершин.
__Шаг 1. Упорядочим ребра графа в порядке их неубывания их весов.
__Шаг 2. Начиная с первого ребра в этом списке, добавлять ребра в графе, соблюдая условие: такое добавление не должно приводить к появлению цикла.
__Шаг 3. Повторять Шаг 2 до тех пор, пока число ребер в графе не станет равно n – 1. Получившееся дерево является минимальным остовным деревом графа.
АЛГОРИТМ ПРИМА::::
Для полных графов более эффективный алгоритм был предложен Примом и Дейкстрой, который можно реализовать со сложностью n log2n
__Шаг 1. Выбрать произвольную вершину и ребро, соединяющее ее с ближайшим по весу соседом.
__Шаг 2. Найдите не присоединенную (еще) вершину, ближе всего лежащую к одной из присоединенных, и соедините с ней.
__Шаг 3. Повторять Шаг 2 до тех пор, пока все вершины не будут присоединены.
ОЦЕНКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ:::::
34. Взвешенные графы и орграфы. Длина пути в обычном и во взвешенном орграфе, расстояние между вершинами. Практическая интерпретация весов. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм нахождения кратчайшего пути в ориентированном графе и его вычислительная сложность.
__Знаковый граф — каждому ребру которого приписан некоторый знак.
__Нагруженным (взвешенный) называется граф G = <V, E> дугам (ребрам) которого приписаны веса. Каждой дуге <u, v> Î E поставлено в соответствие некоторое вещественное число a(u,v), называемое весом данной дуги.
_В компьютерном представлении веса задаются матрицей.
_Если вершины u и v не связаны дугой, то вес a(u,v) = ¥.
_
_Если
последовательность вершин v0,
v1,...,
vp
определяет путь в G,
то длина
пути
определяется как сумма
Веса могут быть отрицательны.
Практическая интерпретация: Если передвижение груза рассм. с точки зрения безопасности (веса — безопасности), то безопасность всего пути будет определяться как произведение весов дуг.
Принцип оптимальности Беллмана: если существует кратчайший путь между двумя точками, то длина пути между любыми двумя точками кратчайшего пути тоже будет минимальна.