18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.

_Группоид, обозначаемый символом (M, ·) — множество M, на котором задана некоторая бинарная операция, обозначаемая ·

__Если множество M группоида конечно, то группоид конечный

__Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.

КВАЗИГРУППАЮЛАТИН КВАДРАТ::

__Квазигруппа (от латинского слова quasi ”почти” ) — группоид, бинарная операция которого (например, ·) такова, что каждое из уравнений a · x = b, y · a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества.

___Таблица Кэли квазигруппы – латинский квадрат таблица n×n, заполненная так, что в каждой строке и столбце встречались все n символов (каждый по одному разу)

__Пример1: «*» на N – не квазигруппа, так как для a=2, b=3 уравнения a · x = b , y · a = b не разрешимы.

__Пример2: «*» на Q - квазигруппа, так как для любых a, b уравнения a · x = b , y · a = b разрешимы и имеют единственное решение.

___Пример3: Группоид A = ( M={a,b,c}, f1) задан таблицей Кэли не квазигруппа, так как уравнение a · x = b имеет два решения: а, с

(РИС(Л-3(30))

_Лупа – квазигруппа с нейтральным элементов

_Группа – лупа у которой бинарная операция ассциативна

_Полугруппа – это группоид с ассоциативной операцией

_Моноид - это полугруппа с нейтральным элементом е

_Группа - это моноид в котором для каждого элемента существует обратный элемент

__Абелева группа - это группа в которой операция коммутативна

Пример: (Z, «+») – квазигруппа, лупа, полугруппа, моноид, группа, абелева группа

19. Подстановки. Композиция подстановок, нейтральная, обратная подстановка. Группа подстановок и ее таблица Кэли. Подгруппы группы подстановок.

__Преобразования f конечного множества M называются подстановками множества M.

__Если множество M содержит n элементов, то группа преобразований Sn множества M называется группой подстановок n-ой степени или симметрической группой n-ой степени.

__Пример: Группа подстановок 3-ей степени. Дано M={a,b,c}. Число подстановок 6. Схема - в под каждым элементом указывается его образ.

Р1 – называется тождественной подстановкой

КОМПОЗИЦИЯ::::::::::::::

_Композиция подстановок вначале выполняет правый сомножитель

потом левый

В Р2: а→а, далее символ а ищем среди прообразов подстановки Р5

(т.е. в верхней строке). Ему соответствует элемент (образ) с.

Итог Р5 ∙ Р2: a→с

__ Нейтральным элементом является тождественная подстановка Р1

Р1∙ f = f ∙ P1 = f

__Обратную подстановку получаем перестановкой верхней и

нижней строки, например:

ГРУППА ПОДСТАН И ЕЁ ТАБЛ КЭЛИ:::

ТАБ(Л-3(35))

Чтобы по таблице найти обратную подстановку, надо в строчке, соответствующей рассматриваемой подстановки, найти нейтральный элемент P1; Столбец, в котором находится Р1 дает обратную подстановку.

P4^-1 = P5

Группа – имеет нейтральный и обратный элемент, операция

ассоциативна Pi ∙ (Pj ∙ Pk) = (Pi ∙ Pj) ∙ Pk

Пример: Р2 ∙ (P3 ∙ P4) ? (P2 ∙ P3) ∙ P4

Р2 ∙ Р2 ? P5 ∙ P4

Р1 = Р1

Группа подстановок не абелева

Pi ∙ Pj ≠ Pj ∙ Pi

Пример: P2 ∙ P3= Р5 ≠ P3 ∙ P2=Р4

ПОДГРУППЫ ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК:

__Теорема (критерий подгруппы). Непустое подмножество H группы G = <G; *> образует подгруппу, тогда и только тогда, когда:

1) для любых двух элементов a, b из H их композиция a * b принадлежит H;

2) для любого элемента a из H обратный ему элемент a^# также принадлежит H.

___Группа подстановок имеет подгруппы

порядка 1: {P1}, порядка 2: {P1, P2}, {P1, P3}, {P1, P6}, порядка 3: {P1, P4, P5} и порядка 6: {P1, P2, P3, P4, P5, P6}.

___Группа подстановок не абелева, но подгруппы порядка 2,3 – абелевы (Pj ∙ Pj = Pj ∙ Pi). Пример: P4 ∙ P5= Р1 = P5 ∙ P4=Р1

РИС(Л-3(36))