64. Виды автоматов: Мили, сильносвязанный, автономный, Мура. Изоморфизм и эквивалентность автоматов. Изоморфизм графов и автоматов. Неотличимые автоматы. Минимальный автомат.

__Общая модель конечного автомата (S-конечно), которая рассматривалась ранее, называется автоматом Мили.

___Состояние s_j называется достижимым из состояния s_i, если существует входное слово a, такое, что j(s_i, a) = s_j. Автомат M называется сильно связным, если из любого его состояния достижимо любое другое состояние.

__Автомат называется автономным, если его входной алфавит состоит из одной буквы: А={а}. Все входные слова автономного автомата имеют вид аа...а.

___Конечный автомат называется автоматом Мура, если его функция выходов зависит только от состояний, т.е. для любых s, a_i, a_j y(s, a_i) = y(s, a_j). Функция выходов автомата Мура естественно одноаргументная; обычно ее обозначают буквой m и называют функцией отметок. В графе автомата Мура выход пишется не на ребрах, а при вершине.

__Теорема: Для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура.

___При исследовании возможностей автоматов достаточно пользоваться автоматами Мура. Это удобно потому, что автомат Мура можно рассматривать как автомат без выходов, состояния которого различным образом отмечены.

ИЗОМОРФИЗМ И ЭКВИВАЛ,:::::

___Пусть M = (A_M, S_M, B_M, j_M, y_M) и T = (A_T, S_T, B_T, j_T, y_T) — два автомата.

____Тройка отображений f: A_M ® A_T, g: S_M® S_T, h: B_M ® B_T называется гомоморфизмом автомата M в автомат T, если для любых aÎA_M, sÎS_M, bÎ B_M выполнены условия:

j_T (g(s), f(a)) = g( j_M (s, a));

y_T (g(s), f(a)) = h(y_M(s, a)).

___В этом случае автомат Т называется гомоморфным автомату M.

___Если все три отображения сюръективны, то эта тройка называется гомоморфизмом M на Т.

__Пусть M = (A_M, _SM, B_M, j_M, f_M) и T = (A_T, S_T, B_T, j_T, f_T) — два автомата и тройка отображений f: A_M ® A_T, g: S_M® S_T, h: B_M ® B_T

___Если автомат Т гомоморфный автомату M и кроме этого, все три отображения взаимно однозначны, то они называются изоморфизмом M на Т;

___Автоматы, для которых существует изоморфизм, называются изоморфными. Ясно, что мощности соответствующих алфавитов изоморфных автоматов должны быть одинаковыми.

ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ И АВТОМ,::::

__В графе автомата Т поменяем местами буквы на двух ребрах: на ребре (r₁, r₂) напишем v, а на ребре (r₂, r₁) напишем w. Получим автомат Т¢¢, граф которого изоморфен графу Т;

__Однако сам автомат Т¢¢ не изоморфен Т. Действительно, при изоморфизме графов вершина r₄ автомата Т изоморфна вершине r₄ автомата Т¢¢, однако Т(r₄, ааа) = vvv Т¢¢( r₄, ааа) = vvw, (очевидно из графов).

РИСУНОК (лекция 14(17))

НЕОТЛИЧИМЫЕ АВТОМАТЫ::::

___Автоматы M и Т называются неотличимыми, если для любого состояния s автомата M найдется неотличимое от него состояние r автомата Т и, наоборот, для любого r из Т найдется неотличимое от него s из M.

___Неотличимость автоматов означает, что любое автоматное отображение, реализуемое одним из них, может быть реализовано другим; иначе говоря, их возможности по реализации преобразований входной информации в выходную совпадают.

____Отношение неотличимости между состояниями и автоматами, рефлексивно, симметрично и транзитивно и, следовательно, является отношением эквивалентности. Обычно неотличимость так и называется эквивалентностью.

МИНИМАЛЬНЫЙ АВТОМАТ:::::

__Переход от автомата M к эквивалентному автомату называется эквивалентным преобразованием автомата M.

__Можно ставить различные задачи о поиске автоматов, эквивалентных данному и обладающих заданными свойствами. Наиболее изученной среди таких задач является задача о минимизации числа состояний автомата: среди автоматов, эквивалентных M, найти автомат с наименьшим числом состояний — минимальный автомат.

___Теорема. Для любого автомата M существует минимальный автомат M₀, единственный с точностью до изоморфизма; если множество состояний M можно разбить на l классов эквивалентности (l £ n): C₁ = {s₁₁, ..., s_1i1},..., С_l = {s_l1, ..., s_lil}, то M₀ имеет l состояний.