61. Эквивалентные соотношения логики предикатов. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.

ЭКВИВ. СООТНОШ.::::

1. ù( $x P(x)) ~ "xùP(x)

2. ù ( "x P(x)) ~ $xùP(x)

3. "x ( P1(x) & P2(x) ) ~ ("x P1(x) & "x P2(x) ) дистрибутивность квантора " относительно &

4. $x ( P1(x) v P2(x) ) ~ ($x P1(x) v $x P2(x) ) дистрибутивность квантора $ относительно v

5. "x"y P(x,y) ~ "y"x P(x,y) коммутативность квантора "

6. $x$y P(x,y) ~ $y$x P(x,y) коммутативность квантора $

7. "x ( P(x) & Y ) ~ ("x P(x) & Y) , где Y не зависит от х

8. $x ( P(x) & Y) ~ ($x P(x) & Y) , где Y не зависит от х

9. "x ( P(x) v Y) ~ ("x P(x) v Y) , где Y не зависит от х

10. $x ( P(x) v Y) ~ ($x P(x) v Y) , где Y не зависит от х

ПРЕФИКСНАЯ И НОРМ ФОРМА:::::

__Префиксной нормальной формой (ПНФ) называется формула, имеющая вид

Q₁x₁, Q₂x₂, …, Q_nx_nF — кванторы; F — формула, не имеющая кванторов, с операциями {&, Ú, ù}.

___В логике предикатов для любой формулы существует эквивалентная ей префиксная нормальная форма.

ПРОЦЕДУРА ПОЛУЧЕНИЯ ПНФ:

1) Заменить операции → , ~ на булевы

A → B = ù A v B

A ~ B = (ù A v B) & ( A v ù B )

2) При помощи эквивалентных соотношений спустить символы отрицания на предикаты

3) Если к формуле, не имеющей вид ПНФ, не применимы эквивалентные соотношения, то следует использовать правила переименования переменных

4) С помощью эквивалентных соотношений получить ПНФ

62. Конечный автомат. Способы задания: таблицей, диаграммой.

___Конечным автоматом называется система M ={А, B, S, j, y}, в которой

• А = {а₁, ..., a_m} – конечный входной алфавит,

• B ={b₁, ..., b_k} — конечный выходной алфавит,

• S ={s₁, ..., s_n} — конечный алфавит состояний,

• j: А ´ S ® S — функция переходов,

• y : А ´ S ® B — функция выходов.

Если в автомате M выделено одно состояние, называемое начальным (обычно будет считаться, что это s₁), то полученный автомат называется инициальным и обозначается (M, s₁).

АВТОМАТНАЯ ТАБЛИЦА::

__Пример: задать автомат для чтения слова «001», если на вход подаются символы «0» и «1».

1. Входной алфавит A={0,1}

2. Выходной алфавит A={Y,N}

3. Алфавит состояний S={s0«», s1«0», s2«00» s3 «001»}

__Автоматная таблица задается двумя способами.

1) Строки – состояния автомата. Столбцы – входные символы. На пересечении строк и столбцов указываются функций j, y.

2) S, A, j, y задаются по столбцам.

ДИАГРАММА ПЕРЕХОДОВ::::

__Ориентированный мультиграф, называемый графом переходов или диаграммой переходов

__Вершины графа соответствуют состояниям. Если j(Si,aj)=Sk, y(Si,aj)=bl, то из вершины Si в вершину Sj веден дуга на которой написано (aj, bl)

___В каждой вершине si выполнены условиями корректности:

1) для любой входной буквы a_j имеется дуга, выходящая из s_i, на которой написано a_j (условие полноты);

2) любая буква a_j, встречается только на одном ребре, выходящем из s_i (условие непротиворечивости или детерминированности)

63. Автоматы и входные слова. Автоматное отображение и его свойства.

__Для данного автомата M его функции j_M и y_M могут быть определены не только на множестве А всех входных букв, но и на множестве А* всех входных слов. Для любого входного слова a = a_j1a_j2...a_jk

j(s_i, a_j1a_j2...a_jk) = j(j(…j(s_i, a_j1), a_j2),..., a_jk-1), a_jk).

Иначе, определяя индуктивно:

а) j(s_i, a_j) задается автоматной таблицей M;

б) для любого слова a Î А* и любой буквы a_j

j(s_i, aa_j) = j(j(s_i, a), a_j). (1)

С помощью расширенной функции j определяется (также индуктивно) расширенная функция y :

y(s_i, aa_j) = y (j(s_i, a), a_j). (2)

АВТОМАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ::::

__Зафиксируем в M начальное состояние S0 и каждому входному слову a = a_j1a_j2...a_jk поставим в соответствие слово w в выходном алфавите:

w = y (S0, a_j1) y(S0, a_j1a_j2)... y(S0, a_j1... a_jk). (3a)

_Это соответствие, отображающее входные слова в выходные слова, называется автоматным отображением, а также автоматным (или ограниченно детерминированным) оператором, реализуемым автоматом (M, S0).

_Если результатом применения оператора к слову a является выходное слово w, то это будем обозначать соответственно M (S0, a) = w или M(a) = w.

___Число букв в слове a, как обычно, называется длиной a и обозначается |a| или l(a). Автоматное отображение также удобно определить индуктивно:

M (s_i,a_j) = y (s_i,a_j)

M (s_i, aa_j) = M(s_i, a) y(j(s_i, a), a_j) (3б)

СВ_ВА АВТОМАТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ::::::::

1) слова a и w = M(a) имеют одинаковую длину: |a| = |w| (свойство сохранения длины);

2) если a = a₁a₂ и M(a₁a₂) = w₁w₂, где |a₁| = |w₁|, то M(a₁) = w₁; иначе говоря, образ отрезка длины i равен отрезку образа той же длины.

__Автоматные операторы — это операторы без предвосхищения, т. е. операторы, которые, перерабатывая слово «не заглядывая вперед»: i-я буква выходного слова зависит только от первых i букв входного слова.